常微分方程期末复习提纲精编.ppt

第一章:绪论  常微分方程与偏微分方程 定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数(或微 分)的关系式称为微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个, 则这样的微分方程称为常微分方程. 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 、微分方程的阶 定义2:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数 或微分的阶数称为微分方程的阶数  n阶微分方程的一般形式为 F(X, y, d 这里F(x )=0是x,y 的已知函数 而且一定含有 dyy是未知函数,x是自变量 三线性和非线性  1.如果方程 d F(X,y 0 的左端为y及,…,“的一次有理式 dx 则称其为n阶线性方程 不是线性方程的方程称为非线性方程 2n阶线性微分方程的一般形式 d d +a1,(x +an(x)y=f(x)(2) ax dx 这里a1(x),…an(x),f(x)是x的已知函数  四微分方程的解 定义3如果函数y=9(x),x∈l,满足条件 (1)y=p(x)在/上有直到n阶的连续导数 (2)对vx∈l有:F(x,φ(x),q(x),…(x))≡0 y y=g(x)为方程(x,d如+n)=0在上的一个  1显式解与隐式解 如果关系式平(x,y)=0所确定的隐函数 y=q(x),x∈I 为方程 F(X, y, 的解,则称屮(x,y)=0是方程的一个隐式解 相应定义4所定义的解为方程的一个显式解. 注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.  2特解与通解 定义4:在通解中给任意常数以确定的值而得到 的解称为方程的特解. 定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该方程的通解 n阶微分方程通解的一般形式为 y=(x,C1,…,Cn) 其中c1,…,c为相互独立的任常数  称函数y=g(x,c1,…,cn)含有n个独立常数,是指 存在(x,C1,…,Cn)舶的某一邻域,使得行列式 q q q O O( ao ao 9,9 O ≠0 a( q q 其中q表示  3定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件 求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件n阶微分方程的初始 条件是指如下的n个条件: 当X=x时,y=yodx (1) 这里x0,yo,y01,…,y是给定的n+1个常数 当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题  五积分曲线和方向场 1积分曲线 d 阶微分方程 的解y=(x)所表示x平面上的一条曲线, 称为微分方程的积分曲线 而其通解y=(x,c)对应x平面上的一族曲线 称这族曲线为积分曲线族