对棱相等的三棱锥性质探究.doc

对棱相等的三棱锥性质探究 浙江省湖州市安吉昌硕高级中学 313300 吴忠 电子信箱: ajwuzhong@126.com 《数学通讯》2007年第13期介绍了解决空间几何问题的常用方法,其中例2原文如下:“三棱锥中各个面都为全等的三角形,其中一个面上的三角形的三个边长分别为2,3,,求三锥的体积.”文[1]的分析是将此三棱锥嵌入一个长方体,并计算出长方体的长、宽、高分别为1,,,再通过切割法可得出此三棱锥的体积.但笔者通过计算发现原题中的应改成,这样三棱锥才可以内嵌于长方体中,否则,边长分别为2,3,构成的三角形是钝角三角形,显然不可以内嵌于长方体中.笔者受此例启发,对对棱相等的三棱锥的性质进行了一些探究. 探究1 对棱相等的三棱锥其各面均为锐角三角形. 分析 如图1,三棱锥D-ABC为对棱相等的三棱锥,BE,DF分别为AC边上的高线,设二面角D-AC-B的大小为,则与的夹角为,又 ABCDFE图1,又设 A B C D F E 图1 .从而可知,△DAC与△BAC公共边上的高线垂足E、F均在线段AC内部,故均为锐角,同理,若以DC为公共边, 可证均锐角,即△DAC三内角均为锐角三角形，所以对棱相等的三棱锥其各面均为锐角三角形,不可能是钝角或直角的三角形. 探究2 设对棱相等的三棱锥有公共棱的两面构成的二面角为，其中一面上与公共棱所成的两个内角分别为,则. 分析 如图1，设∠DAC=,∠DCA=,由性质1,可知 (1) 代入(1)式化简，得. 另外,由以上探究,我们还可以发现,一个锐角三角形以其各边中点连线为棱,可以折成一个对棱相等的三棱锥,此三棱锥一定可以内嵌于一个长方体中,其体积为长方体体积的. 参考文献 [1]董入兴、马伟.解决空间几何问题的常用方法[J].数学通讯,2007(13) 作者简介 吴忠,男,浙江省湖州市人,1972年出生,,中教一级,联系电话:013017912703