常微分方程 齐次一阶线性分析.ppt

③高等数学A 第8章常微分方程 8.2一阶微分方程 8.2.2齐次方程 8.2.3一阶线性微分方程 面中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 8.2一阶微分方程 821可分离变量的方程(复习上次课的相关内容) 模型1 阶 齐次方程{基本形式和求解方法 微822齐次方程 习例1-6 基本形式和解法 分 可化为齐次方程的方程 方 1习例79 程 模型2 基本形式 一阶齐次线性方程的解法 823一阶线性微分方程 阶非齐次线性方程的解法 习例10-13 应用思考题 模型1探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由 xOy坐标面上的一条曲线L绕X轴旋转而成,按聚光性 能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线, 经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程 解:将光源所在点取作坐标原点,并设 L:y=∫(x)(y≥0) T 由光的反射定律:入射角=反射角 可得OMA=∠OAM=a 从而AO=OM 而AO=AP-OP= cota-x OM=√x+y 于是得微分方程 x=√x-+y 于是方程化为 +√1+(x)2(齐次方程) 则x=y y d dv dy 积分得h(v+√1+y2)=hy-hCv+1+2= 故有 yv (2-v)2=1+v 代入yv=x,得y2=2C(x+)(抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面 、齐次方程的定义和解法 1.定义形如 dt、∫()的微分方程称为次方程 2解法作变量代换=),即y=x d du =u+r dx du 代入原式 u+x=∫(ul) 即 du f(u-u 可分离变量的方程 当f(n)-≠)时,得∫m=lmC (u 即 r=O ()-l 将n=代入,得通解x=C2° 当彐n,使∫(a0)-l0=0,则u=l是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=unx 例1求解微分方程 (x-y cos dx +rcosdy=0. 例2解微分方程 (y-2xy)dx +xdy=0. 例3求解微分方程 d cy y y -ry 例4求方程可y=y+tany的通解. 例5求方程(y4-2x3y)d+(x4-2xydy=0的通解。 例6求方程(1+2e)dx+2e(1--kdy=0, 满足yx=1的特解 例1求解微分方程 (x-y cos)dx +xcos 解 则dy=xd+ldx (-ur cosu )dx +xcosu(udx +xdu=0 dx casual g sinu=-Inx +C, 微分方程的解为si Intc