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.
( 2014 年高考江苏卷
第 10 题)
已知函数 f ( x)
x2
mx 1, 若对于任意 x [ m, m
1] ,都有 f ( x)
0 成立 ,则实数 m 的
取值范围是
▲ .
【思路探究】
画出二次函数的分析简图:
由图象分析可得结论:开口向上的二次函数
f (x) 在 m, n 上恒小于 0 的充要条件为
f ( m)
0,
f (x) 在 m, n
f (m)
0,
f ( n)
,开口向下的二次函数
上恒大于
0 的充要条件为
0.
0.
f (n)
f ( m)
0,
2
m
2 ,
2
2
2
m
【解法探究】
1) 0.
3
,0 .
f ( m
m
0.
2
2
【教学建议】
( 1)一元二次不等式作为江苏高考考试说明的
C 级要求,在教学中应突出和加强二次函
数、二次方程的零点、一元二次不等式的研究性教学,由于三次函数求导后仍为二次函数
问题,所以可考虑多渗透一些含参数问题的讨论,适时和
适当 加大二次问题的教学难度 .
... ..
( 2)多引导学生利用数形结合的方法研究函数问题 .
( 2014 年高考江苏卷 第 18
题)
如图 ,为了保护河上古桥
OA ,规划建一座新桥
BC,
北
同时设立一个圆形保护区
.规划要求 :
B
新桥 BC 与河岸 AB 垂直 ; 保护区的边界为圆心
M 在
A
线段 OA 上并与 BC 相切的圆 .且古桥两端 O 和 A 到
60 m M
..
O
170
C东
m
.
该圆上任意一点的距离均不少于
80m. 经测量,点 A 位于点 O 正北方向
60m 处 , 点 C 位于
点 O 正东方向 170m 处 (OC 为河岸 ), tan BCO
4 .
3
1)求新桥 BC 的长;
2)当 OM 多长时 ,圆形保护区的面积最大?
【解法探究】
( 1)解法
6
,则由两角差的正切
1:(两角差的正切) 连结 AC ,由题意知 tan ACO
17
公式可得:
2
ACB AC 150 m
tan ACB tan( BCOACO ),故 BC cos
3
答:新桥 BC 的长度为 150 m.
解法 2:(解析法) 由题意可知 A(0,60), B(170,0)
;由 tan BCO
4
可知直线 BC 的斜
3
率 k
4 ,则直线 BC 所在直线的方程为
y
4 (x
170) ;又由 AB
BC 可知, AB 所
3
3
3
y
4
(x
170)
在的直线方程为
y
3
,解得 x
80, y 120 ;
x 60 ;联立方程组
3 x
4
y
60
4
即点 B(80,120) ,那么 BC
(80 170)2
1202
150
. 答:新桥 BC 的长度为 150m.
解法 3:(初中解法) 延长 CB 交 OA 所在直线于点 G ,
由 tan
BCO
4 可得 OG
680
850
,
, CG
3
3
3
AG
500
CGO
sin GCO
4
, cos
,故
3
5
..
.
BG cos CGO AG
400 ,在
OCG 中,由
3
勾股定理得 CG
850 ,故 BC
150 m
3
答:新桥 BC 的长度为 150 m.
( 2)解法
1(:解析法) 由题意设 M (0, a) (0
a 60) ,圆 M 的方程为 x2
( y
a)2
r 2 ,
680
a
3
680
3a
且由题意可知 r
又古桥两端
O 和 A 到该圆上任意一点的距离
4)2
.
1 (
5
3
均不少于
r
a
80
,解得 10 a
35 ;由函数 r
680
3a
80m,那么
(60
a)
5
为区间
r
80
[10,35] 上的减函数,故当
a
10 时,半径取到最大值为
130.
综上可知,当 OM
10m 时,圆形保护区的面积最大,且最大值为16900 .
解法 2:(初中解法) 设 BC 与圆切于点 N ,连接
MN ,过点 A 作 AH / / BC 交 MN 于点 H .
设 OM
a ,则 AM 60
a ,由古桥两端 O 和 A
到该圆上任意一点的距离均不少于
80 m,那么
r
a
80
, 解 得
10
a 35
. 由
r
(60
a)
80
tan
AMH
tan
OCN
4
,可得 MH
3 (60 a) ,由( 1)解法 3 可得 AB
100 ,
3
5
所以 MN
100
3 (60
x)
3 x
136 ,故 MN 即圆的半径的最大值为
130,当且仅当
5
5
10 时取得半径的最大值 . 综上可知,当 OM 10m 时,圆形保护区的面积最大
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