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双曲线的 简单几何性质 (1) 1. 双曲线的标准方程 : 形式一： （焦点在 x 轴上，（ -c ， 0 ）、 （ c ， 0 ）） ) 0 , 0 ( 1 2 2 2 2 ? ? ? ? b a b y a x 1 F 2 F 形式二： （焦点在 y 轴上，（ 0 ， -c ）、（ 0 ， c ）） 其中 ) 0 , 0 ( 1 2 2 2 2 ? ? ? ? b a b x a y 1 F 2 F 2 2 2 b a c ? ? 一、复习回顾： o Y X 标 准 方 程 范 围 对称性 顶点 焦 点 对称轴 离心率 关于 X,Y 轴 , 原点对称 ( ± a,0),(0, ± b) ( ± c,0) X 轴 、 Y 轴 a c e ? |x| ? a,|y|≤b 1 2 2 2 2 ? ? b y a x F 1 F 2 A 1 A 2 B 2 B 1 2. 椭圆的图像与性质 : 2 、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 ) 0 b , 0 a ( 1 b y a x 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 、范围 a x , a x a x , 1 a x 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 即 ? 关于 x 轴、 y 轴和原点都是对称的 . x 轴、 y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的 中心 。 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y ) (x,-y) 二、讲授新课： 3 、顶点 （ 1 ）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的 顶点 x y o -b 1 B 2 B b 1 A 2 A -a a ) 0 , ( ) 0 , ( 2 1 a A a A 、 顶点是 ? 如图，线段 A 1 A 2 叫做双曲线 的实轴，它的长等于 2a,a 叫做 双曲线实半轴长；线段 B 1 B 2 , 叫做双曲线的虚轴，它的长为 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 （ 2 ） 1 y x ? 思考： 1. 的图像是什么？ 轴 轴和 图像无限靠近 y x 1 , x y y x ? 轴 轴叫做 的渐进线 . 想一想：以前还见过渐近线吗？ 指数函数和对数函数及三角函数中有吗？ 2 2 ( a) b y x a x a ? ? ＞ 2 2 1 b a x a x ? ? , b x Y a ? ＜ 2 2 2 2 1,( 0, 0) x y a b a b ? ? ? ? 双曲线 x y O x a b y ? x a b y ? ? 4 、渐近线 经过 作 y 轴的平行线 x= ± a, 经过 作 x 轴的平行线 y= ± b, 2 1 A A 、 b y x a ? ? 2 1 B B 、 2 2 b y x a a ? ? 设 M(x,y) 是它上面的点， N(x,Y) 是直线 x a b y ? 上与 M 有相同横坐标的点， b Y x a ? 则 这一部分的方程为： ，图上可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直 下面我们来证明这个结论。取双曲线第一象限的部分 , 矩 形 的 两 条 对 角 线 所 在 直 线 的 方 程 是 M ( x , y ) N (x,Y) 1 A 2 A 2 B 1 B 四条直线围成一个矩形。 线逐渐接近。 ? ? 2 2 b MN Y y x x a a ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 x x a x x a b a x x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ab x x a ? ? ? 设 |MQ| 是点 M 到直线 的距离，则 |MQ| ＜ |MN|, x a b y ? 当 x 逐渐增大时， |MN| 逐渐减小， |MN 接近于 0 ， |MQ| 也接近于 0 就是说，双曲线在第一象限的部分从射线 ON 的下方逐渐接近于 射线 ON. 在其他象限内，也可类似证明。 我们把两条直线 叫做双曲线的渐近线。 b y x a ? ? 如果 a=b, 那么双曲线的方程为 2 2 2 2 1 x y a b ? ? 在方程 中， 2 2 2 x y a ? ? 它的实轴和虚轴都是 2a, y= ± a 围成正方形， 平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做 等轴双曲线 。 特殊地， 双曲线（草图）的画法： ⑴画出双曲线的渐近线 ⑵确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点 并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特 点画出双曲线的一部分。 ⑶利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。 这时，四条直线 x= ± a, 他们互相垂直，并且 渐近线方程 y= ± x, 5 、离心率 双曲