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第十章　无限脉冲响应滤波器;回顾IIR滤波器的基本概念;10.1 IIR滤波器的基础;例10.1(P289)：求出下面递归滤波器的脉冲响应。;由于递归滤波器具有无限长脉冲响应，所以通常称为无限脉冲响应滤波器（Infinite Impulse Response filter，即IIR滤波器）。 IIR滤波器的设计就是要选择系数bk和ak，使得滤波器形状设计有许多灵活性。; 稳定性：;递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性相位。然而，递归滤波器的优势在于，在实现类似的性能要求时，它比非递归滤波器所需的系数要少得多。;设计递归滤波器有两种方法： （１）设计具有待求特性的原型模拟滤波器，然后将其转换为数字滤波器。因为模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。 （２）计算机辅助设计法。这是一种最优化的设计方法。先确定最优准则，然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak、bk。一般得不到函数表达式，而且需要进行大量的迭代运算。;10.2 低通模拟滤波器;因为：;低通模拟滤波器;低通模拟滤波器;低通模拟滤波器;低通模拟滤波器;低通模拟滤波器; 从模拟滤波器映射成数字滤波器，也就是使数字滤波器模仿模拟滤波器的特性，主要有以下几种映射方法：脉冲响应不变法、阶跃响应不变法和双线性变换法。;10.3 脉冲响应不变法;下面推导脉冲响应不变法中的S 平面和Z平面的对应关系。; 设模拟滤波器的传输函数H(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次N高于分子多项式的阶次M，则其可用部分分式表示为：;对上式两端作Z变换，得：;将 z= rej? 和s = ? +j? 代入上式，得：;例：已知模拟滤波器的传输函数如下，试用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函数。;这是一个二阶递归滤波器，在z＝e-(a?jb) T处有一对极点，在z＝0和 z＝ e-aTcos(bT)处有两个零点。;对于简单的一阶巴特沃斯滤波器，其传输函数及滤波器形状为：;只要用于实现脉冲响应不变法数字滤波器的采样间隔T很小，尽量减小混叠，数字和模拟滤波器的形状就会非常接近。;例10.12(P313)：用脉冲响应不变法设计截止频率为750Hz的一阶巴特沃斯滤波器。;数字滤波器的传输函数为：;例：设模拟滤波器的系统函数如下，试利用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器。;令T=1，则有：;脉冲响应不变法;10.4 双线性变换;IIR数字滤波器在Z域中的传输函数;双线性变换;;双线性变换的定义为：;双线性变换;双线性变换;例10.2(P294)：将下列ｚ域复平面上的点通过双线性变换映射到ｓ域复平面上。;解：进行双线性变换：;左半平面上的点;例10.3(P295)：一阶模拟低通滤波器的传输函数如下式所示，滤波器的-3dB频率是2000弧度/秒（或2000/2?=318.31Hz）。求出与此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传输函数H(z)，采样频率为1500Hz。;解：因为-3dB频率不是?=1，而是?=2000弧度/秒，其模拟域传输函数为：;采样频率fs=1500Hz，用双线性变换法将模拟传输函数中的每个s用2fs(z -1)/(z +1)来替代，则数字滤波器传输函数为：;由于|H(?)|=0.707点所对应的?=1.17弧度，它所对应的模拟频率f = ? fS /2? =279.3Hz，低于模拟滤波器的截止频率318.31Hz。;例10.4(P296) ：针对上例中的误差采用预扭曲的方法进行改进。;用2360.4弧度/秒代替2000弧度/秒，则原型模拟滤波器的传输函数为：;双线性变换;优缺点： 稳定的模拟系统经过双线性变换后得到的数字系统仍然是稳定的。同时，双线性变换的最大优点是避免了频率响应的混叠现象。 由于?＝2fstan(?/2) 变换关系是非线性的，所以?和?之间存在着严重的非线性关系，这就使得一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，就变成了非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；另外，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅度响应必须是分段恒定的，否则，变换所产生的数字滤波器幅度响应相对于原模拟滤波器的幅度响应会有畸变。; 对于分段恒定的滤波器（低通、高通、带通和带阻），双线性变换后，仍得到幅频特性为分段恒定的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变可以通过频率的预畸变来加以校正，即将临界频率事先加以畸变，然后经过变换后正好映射到所需要的频率处。;10.5 模拟滤波器的设计;由幅度平方函数确定系统函数 模拟滤波器的幅度响应常用幅度平方函数来表示：;由于脉冲响应h(t)是实函数，所以Ha(s)的极点（或零点）必以共轭对形式出现，即Ha(s) Ha(-s) 的极点、零点分布是成象限对称的。 任何可实现的滤波