初二数学图形辅助线常见做法.doc

八年级数学培优训练题 ? 补形法得应用 班级___＿____ 　　 　 　　 　 姓名____＿_____ 　 　 　 　 分数__＿____ 一些几何题得证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分繁难,若通过适当得“补形”来进行,即添置适当得辅助线,将原图形填补成一个完整得、特殊得、简单得新图形,则能使原问题得本质得到充分得显示,通过对新图形得分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力与解题技巧。我们学过得三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”得对象。现就常见得添补得图形举例如下，以供参考。 一、补成三角形 1、补成三角形 例１、如图1，已知Ｅ为梯形AＢＣD得腰ＣD得中点； 证明:△ABE得面积等于梯形ABＣD面积得一半。 分析:过一顶点与一腰中点作直线,交底得延长线于一点,构造等面积得三角形。这也就是梯形中常用得辅助线添法之一。 略证: 2、补成等腰三角形 例2　如图2、已知∠A=90°,AB＝ＡC,∠1＝∠2，ＣE⊥BD,求证:BD=2CE 分析:因为角就是轴对称图形,角平分线就是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CF＝2CE,再证ＢD=CF即可。 略证: ３、补成直角三角形 图3例3、如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C＝9０°,Ｆ、G分别就是AＤ、BC得中点,若BC=１8，AD=８,求ＦG得长。 图3 分析:从∠B、∠Ｃ互余,考虑将它们变为直角三角形得角,故延长BA、CD,要求FG,需求PF、PG。 略解: 4、补成等边三角形 例４、图4,△AＢC就是等边三角形,延长ＢＣ至D,延长BＡ至E,使AE＝ＢD,连结ＣE、ED。 证明:ＥC＝ED 分析：要证明EC＝ＥD,通常要证∠EＣD=∠EＤＣ,但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BF=BE,连结EF。 略证： 二、补成特殊得四边形 1、补成平行四边形 例5、如图5,四边形ＡBＣD中,Ｅ、F、G、H分别就是AB、CD、AC、ＢＤ得中点,并且E、Ｆ、Ｇ、H不在同一条直线上，求证:EF与GＨ互相平分。 分析:因为平行四边形得对角线互相平分,故要证结论,需考虑四边形ＧEHF就是平行四边形。 略证: 2、补成矩形 例6、如图6,四边形ABCD中,∠A=6０°,∠B=∠D＝９0°,AＢ＝200m,ＣＤ=1００ｍ,求AD、BC得长。 图6分析:矩形具有许多特殊得性质,巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形,于就是一些四边形中较难得计算题不难获解。 图6 略解: 　EMＢED Obｊeｃt 3、补成菱形 图7例7、如图7，凸五边形AＢCＤＥ中,∠Ａ=∠B=1２0°,EA=AB＝BＣ＝２,ＣD＝DE=４,求其面积 图7 分析:延长ＥＡ、CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形。 略解: ４、补成正方形 图8例8、如图8，在△ABC中,ＡＤ⊥BC于D，∠BAＣ＝4５°,BD=3,DC＝2。求△ABＣ得面积。 图8 分析:本题要想从已知条件直接求出此三角形得面积确实有些困难，如果从题设∠BＡC=４5°,AD⊥ＢC出发,可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形得信息,那么问题立即可以获解。 略解: 5、补成梯形 图9例9.如图９,已知:?G就是△AＢC中ＢC边上得中线得中点,L就是△ＡBC外得一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、Ｇ1。求证:GG1＝　(2AA1＋BB1+CC1）。 图9 分析：本题从已知条件可知,中点多、垂线多特点,联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当,故过D作DD1⊥L于D1,则DD1既就是梯形ＢB1C1C得中位线,又就是梯形DＤ1A１A得一条底边,因而，可想到运用梯形中位线定理突破,使要证得结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。 略证: 三、练习1、在△ABＣ中,AC＝BC，D就是AC上一点,且ＡE垂直BD得延长线于E,又AE=BD,求证:BE平分∠ABC。 ABQCP2、如图,已知:在△AＢＣ内,∠BAＣ=6０°,∠ＡＣB＝40°,Ｐ、Q分别在ＢＣ、CA上,并且AP、BQ分别就是 A B Q C P ３、已知:∠BAC=９0°,AB=AC，AＤ=DC，AE⊥BD，求证:∠ADB＝∠CDＥ A A B C D E AB A B C P M