第1章--单自由度系统的自由振动题解.docxVIP

1-1 1-1 一单层房屋结构可简化为题 1-1图所示的模型，房顶质量为 m视为一刚性杆；柱子高 h, 视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为 EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k 其中 为两根杆的静形变量，由材料力学易知 ~ U3 =mgh -24EJ :24EJ k= 3- h3 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 mx kx 所以固有频率pn 24EJmh3 1-2 一均质等直杆，长为l ,重量为 W用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题 1-2 图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 2 2Fcos = mg 由动量矩定理: M TOC \o 1-5 \h \z 1 - 2 I 一 ml 12 2 a a M Fa sin cos— mg mg ——a \o Current Document 2 8h 其中 其中 sin cos— 1 2 TOC \o 1-5 \h \z 1 , 2 _ a —ml mg —— \o Current Document 12 4h Pn Pn 3ga2 2兀 12h 2兀l h —— 2兀 2 Pn \ 3ga a . 3g 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 k1和k3,悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，匕与k2申联, 设总刚度为k/ 解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，匕与k2申联, 设总刚度为k/。k与k3并联，设总刚度为k2，。k2,与k4申联， 设总刚度为k0即为 k〔 k1k2k k2 k2 k1k2 k1k2k4 k?k3k4 k1k2k4 k1 k3 k2k3 k*2 k*4 k2k4 k*2k4 k2k3k4 k*2k4m(k1k3 k2k3 k1k2 k1k4 k2k4) 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。 其中Ji、J2和J3是三个轴段截面 的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为 G 解： J J UGGJGJ J J UGGJGJ k23 GJ2J3 /(J2I3 J3I2) ⑷ Pn2 (ki k23)/I 由(1)(2)(3)(4)知 Pn2G(J Pn2 G(J1J2l3 J3J1l2 J2J』l)/Ill(J2l3 J3I2) 1-5如题1-5图所示，质量为m的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动， 鼓轮绕轴的转动惯量 为I,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 .如图题中的广义坐标x Asin(wt a) 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 .如图题中的广义坐标 x Asin(wt a) X ,设系统的振动方程为: 则系统运动过程中速度表达式为: Aw cos(wta)系统最大位移和速度分另 则系统运动过程中速度表达式为: Aw cos(wt a) 系统最大位移和速度分另U为：xmax Ax 系统在运动过程中,1 k2x2系统最大动能为:1m1( Aw)2m2 系统在运动过程中, 1 k2x 2 系统最大动能为: 1 m1( Aw) 2 m2( Aw) 1 m2r 2 Aw 2 Aw R2 最大弹性势能为: U max 1k 2 1k2A2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 -m1 —m2 ——- -m2r — ——- 2 2 2 2 r 2 动能表达式为: R2 弹性势能为: 1 U — k1 R 2 R2 由于系统机械能守恒，因此: Tmax U max 1m1(Aw)221 1m1(Aw)2 2 1 2 1 1 2 Aw 1 , Aw 1 , -A 1 , A -m2(Aw) -m2r -I k〔 R1 k2 A 2 2 2 r 2 R2 2 R2 2 2 2 2 2 由上式可解得系统的固有频率为: T1 I T 1 I 2 I O 2 1 / \2 — m〔(a ) 2 1m2(l )2 2 所以， Tmax Pn cOS(Pnt 1 . 2 2 —I O pn ) 1 2 2 2 1 2 2. -m1 Pna 匚 Pnl 2 2 2 2 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为 2,3,由 名旦k2 R2 I m m2 — 2 r2 1-6如题1-6图所示，冈【J性曲臂绕支点的转动惯量为 |0,求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的 角为广义坐标，系统作简 谐运动，其运动方程为 sin( pnt )。 很小，系统 的动能为 m°(F) 0, k1 1a m1g