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23.已知关于的二次函数的图象经过点,且与轴交于不同的两点、,点的坐标是.
(1)求抛物线的对称轴方程(用含的代数式表示);
(2)若,求的取值范围;
(3)当时,该二次函数的图象与直线交于、 两点,设、、、四点构成的四边形的对角线相交于点,记的面积为,的面积为,求证:为常数,并求出该常数.
(提示:请先根据题目条件在给定的平面直角坐标系中画出示意图)
【分析】(1)把,分别代入解析式,用含的式子表示,的值,再根据抛物线的对称轴公式计算即可;
(2)令,求得抛物线与轴的交点,根据,分情况讨论,列不等式解答即可;
(3)根据题意,求出,的长,再根据三角形的面积公式计算即可.
【解答】解:(1)依题意得:把,分别代入解析式得到,,
抛物线的解析式为,
对称轴为;
(2)当时,,
解得:,,
,
分情况讨论:
①时,解得:,
②时,解得:,
综上所述,或;
(3)证明:,
对称轴为,
,
把代入得,解得,
,
,
为常数,这个常数为1.
【点评】本题主要考查二次函数的综合题,解答第(2)小题时,由于不知道、在轴上的具体位置,所以需要分类讨论.注意分类讨论在本题中的应用.
24.已知矩形中,,,点是边上一点,,连接.
(1)沿翻折使点落在点处,
①连接,若,求的值;
②连接,若,求的取值范围.
(2)绕点顺时针旋转得△,点落在边上时旋转停止.若点落在矩形对角线上,且点到的距离小于时,求的取值范围.
【分析】(1)①画出图形,由可得内错角和同位角相等,由翻折有对应角相等,等量代换后出现等腰三角形,即求出的值.
②由于的形状大小是固定的,其翻折图形也固定,故可求点到的距离与的长度,根据是直角三角形即可利用勾股定理用含的式子表示的长度,此时可把看作是的二次函数,根据二次函数图象的性质和的范围,确定自变量的范围.
(2)根据点在上,利用内错角相等即三角函数相等可用含的式子表示到的距离,即求出的最小值.又画图可知,当点落在上时,最大,画出图形,利用即三角函数相等即求出的值.
【解答】解:(1)①如图1,
,
翻折得到
,
的值是2.
②如图2,过点作于点,交于点
四边形是矩形
四边形是矩形
,
翻折得到
,,
设,则
解得:
,
,
即可把看作关于的二次函数,抛物线开口向上,最小值为
解得:,
根据二次函数图象可知,
(2)如图3,过点作于点,交于点
,
,点在上
点到的距离小于
解得:
如图4,当落在边上,且在上时,最大,
此时,
的取值范围是
【点评】本题考查了平行线性质,轴对称性质,等腰三角形判定,矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,解一元一次方程,勾股定理,二次函数的应用,三角函数的应用.正确按题意画出图形并从中获得等量关系是解题关键,考查数形结合能力.
25.如图,在中,,以为直径的分别交于点,交的延长线于点,过点作,垂足为点,连接,交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若的半径为4,
①当时,求的长(结果保留;
②当时,求线段的长.
【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:,则,是圆的切线;
(2)①根据等腰三角形的性质的,设,得到,根据三角形的内角和得到,求得,根据弧长公式即可得到结论;
②连接,根据圆周角定理得到,解直角三角形得到,根据相似三角形的性质得到,于是得到结论.
【解答】证明:(1)连接,如图1,
,
是等腰三角形,
①,
在中,,
②,
由①②得:,
,
,
,
是圆的切线;
(2)①,
,
设,
,
,
,
,
,
,
的长;
②连接,
为的直径,
,
的半径为4,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,,
,
,,
,
,
,
,,
,
,
,
.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
26.如图①,四边形是矩形,,,点是线段上一动点(不与,重合),点是线段延长线上一动点,连接,,,交于点.设,,已知与之间的函数关系如图②所示.
(1)求图②中与的函数表达式;
(2)求证:;
(3)是否存在的值,使得是等腰三角形?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法可得与的函数表达式;
(2)方法一:证明,得,可得结论;
方法二:分别表示三边的长,计算三边的平方,根据勾股定理的逆定理得:是直角三角形,从而得:;
(3)分三种情况:
①若,则,
②若,如图①,作,交于,
③若,则,
分别列方程计算可得结论.
【解答】解:(1)设,
由图象得:当时,,当时,,
代入得:,,
;
(2)方法一:,
,
,,
,
四边形是矩形,
,
,
,
,
;
方法二:四边形是矩形,
,
根据勾股定理得:
在中,,
在中,,
在中,,
,
是直角三角形,且,
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