2015高中数学 241平面向量数量积的物理背景及其含义.ppt

问题情境 : 情境 1: 前面我们学习了平面 向量的加法、减法 和数乘 三种运算 , 那么向量与向量能否“ 相乘 ” 呢？ 情境 2: 一个物体在力 F 的作用下发生了位移 s ， 那么该力对此物体所做的功为多少？ F s ? ┓ 位移 S O A ? 一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功 F S F W= F S ? θ 表示力 的方向与位移 的方向的夹角。 F ? S ? θ F F θ S ? cos S F ? ? 我们将功的运算类比到两个向量的一种运 算，得到向量“数量积”的概念。 ? cos ? ? ? S F W | | a | | b ? cos ? ? b a 这就是本节课所 要学习的平面向 量的数量积 2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的 夹角为 θ ，我们把数量 | a | | b |cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积 （或 内积 ），记作 a· b a· b =| a | | b | cos θ 规定 : 零向量与任一向量的数量积为 0 。 注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数， 不是向量． (2) 两个向量的数量积称为内积，写 成 ． a b ? a b ? 即 ab a b ? 注意： (3) 向量的数量积和实数与向量的积 ( 数乘 ) 不是一回事． 数量积 的结果是一个 数量 ( 实数 ) ； 实数与向量的积 ( 数乘 ) 还是一个向量． | || | cos a b a b ? ? ? 例 1 : 变式演练 : | | 5 | | 4 a b a b a b ? ? ? 已知 ， ， 与 的夹角为 120 ， 求 。 | | 5 | | 4 10 a b a b a b ? ? ? ? 已知 ， ， ， 求 与 的夹角。 向量数量积的性质 是非零向量 、 设 b a ______; 0 ) 1 ( ? ? ? ? ? b a ? ? ? b a ； 同向时， 与 当 ______ ) 2 ( ? ? ? ? ? ? b a b a | || | ? ? b a . _____ | | ____ 2 ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a 或 特别地 2 | | ? a 2 ? a b a ? ? ? 等于 a 的长度 | | a ? 方向上的投影 在 a b ? ? 与 ? cos | | b ? 的乘积。 数量积的几何意义 ： O A B θ | b |cosθ a b B 1 | b | cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的 投影 。 (1) 投影的定义 ： (2) 数量积的几何意义 ： 例 2 ：已知 与 的夹角为 ，则 在 方向上 的投影为 。 8, 2, a b ? ? a b 2 3 ? a b 6, 90 1 35 a e a e a e ? ? 变式训练：已知 为单位向量，当 、 之间的夹角 分别等于 45 、 、 时，画图表示 在 方向上的投影， 并求其值。