小学奥数平面几何课堂.ppt

1 数学分析电子教案 泰州学院数理学院 王能群 2 小学奥数平面几何五大定律 1. 等积模型 2. 鸟头定理 3. 蝴蝶定理 4. 相似模型 5. 燕尾定理 3 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 反之 ，如果，则可知直线 AB 平行于 CD 1 2 : : S S a b ? D C B A A C D B C D S S ? △ △ A C D B C D S S ? △ △ ④等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的 平行四边形 ) ； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底 相等，面积比等于它们的高之比． 4 二、鸟头定理 ? 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． ? 共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比． ? 如图在 ? ABC 中， D,E 分别 AB,AC 是上的点如图 ⑴ ( 或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上如图 (2)) 则 : ( ) : ( ) A B C A D E S S A B A C A D A E ?? ? △ △ E D C B A 图（ 1 ） E D C B A 图（ 2 ） 5 三、蝴蝶定理 ? 任意四边形中的比例关系 (“ 蝴蝶定理” ) ： 1 2 4 3 : : S S S S ? ? ? ? ? 1 2 4 3 : : A O O C S S S S ?? ? S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A ? 梯形中比例关系 (“ 梯形蝴蝶定理” ) ： ? ① ? ② ? ③ S 的对应份数为 2 2 1 3 : : S S a b ? 2 2 1 3 2 4 : : : : : : S S S S a b a b a b ? ? ? 2 a b ? A B C D O b a S 3 S 2 S 1 S 4 1 3 2 4 S S S S ? ? ? 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型， 一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面， 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． ② ① 或者 6 四、相似模型 ? ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ? ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ? ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． ( 一 ) 金字塔模型 ( 二 ) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ① ② A D A E D E A F A B A C B C A G ? ? ? 2 2 : A D E A B C S S A FA G ? △ △ ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 ( 只要其形状不改变， 不论大小怎样改变它们都相似 ) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 7 五、燕尾定理 ? 在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 ． : : A B O A C O S S B D D C ? ? ? O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ? ABO 和 ? ACO 的 形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题 目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之 中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 . 8 【例 1 】如图，正方形 ABCD 的边长为 6 ， AE=1.5 ， CF=2 ．长方 形 EFGH 的面积为多少． 【解析】连接 DE ， DF ， ( 如图）则长方形 EFGH 的面积是三角 形 DEF 面积的二倍．三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减 去三个三角形的面积， 所以长方形 EFGH 面积为 33 ． 6 6 1 . 5 6 2 2 6 2 4 . 5 4 2 1 6 . 5 D E F S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? △ 9 【例 2 】长方形的面积为 36 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【解析】解法一：寻找可利用的条件