常数项级数的审敛法课堂.ppt

一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 § 11.2 常数项级数的审敛法 上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 铃 结束 返回 首页 一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 . ? 正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 . 这是因为正项级数的部分和数列 { s n } 是单调增加的 , 而单 调有界数列是有极限 . 下页 ? 定理 1( 正项级数收敛的充要条件 ) 上页 铃 结束 返回 首页 ? 定理 2( 比较审敛法 ) 设 ? ? ? 1 n n u 和 ? ? ? 1 n n v 都是正项级数 , 且 u n ? v n ( n ? 1 , 2 , ? ? ? ) . ? 推论 设 ? ? ? 1 n n u 和 ? ? ? 1 n n v 都是正项级数 , 且 u n ? kv n ( k ? 0 , n ? N ) . 若 ? ? ? 1 n n v 收敛 , 则 ? ? ? 1 n n u 收敛 ? 若 ? ? ? 1 n n u 发散 , 则 ? ? ? 1 n n v 发散 . 若 ? ? ? 1 n n v 收敛 , 则 ? ? ? 1 n n u 收敛 ? 若 ? ? ? 1 n n u 发散 , 则 ? ? ? 1 n n v 发散 . 下页 上页 铃 结束 返回 首页 解 下页 ? 定理 2( 比较审敛法 ) 例 1 讨论 p ? 级数 ) 0 ( 1 1 ? ? ? ? p n p n 的收敛性 . 所以级数 p n n 1 1 ? ? ? 也发散 . 当 p ? 1 时 , n n p 1 1 ? , 而级数 ? ? ? 1 1 n n 发散 , 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 , 且 u n ? kv n ( k 0 , ? n ? N ) . 若级数 ∑ v n 收敛 , 则级数 ∑ u n 收敛 ? 若级数 ∑ u n 发散 , 则级数 ∑ v n 发散 . 上页 下页 铃 结束 返回 首页 , 1 ? p 因为当 , 1 1 p p x n ? 故 ? ? ? n n p p x n n 1 d 1 1 ? ? ? n n p x x 1 d 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 p p n n p 考虑强级数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 1 ) 1 ( 1 p p n n n 的部分和 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ) 1 ( 1 1 p p n k k k ? ? n 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时 , 1 ) 1 ( 1 1 ? ? ? ? p n 1 2) 若 上页 铃 结束 返回 首页 证 因为 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ? ? ? ? ? n n n n , 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 , 且 u n ? kv n ( k 0 , ? n ? N ) . 若级数 ∑ v n 收敛 , 则级数 ∑ u n 收敛 ? 若级数 ∑ u n 发散 , 则级数 ∑ v n 发散 . ? p ? 级数的收敛性 证 下页 ? 定理 2( 比较审敛法 ) p ? 级数 p n n 1 1 ? ? ? 当 p ? 1 时收敛 , 当 p ? 1 时发散 . 例 2 证明级数 ? ? ? ? 1 ) 1 ( 1 n n n 是发散的 . 而级数 1 1 1 ? ? ? ? n n 发散 , 故级数 ? ? ? ? 1 ) 1 ( 1 n n n 也发散 . 上页 下页 铃 结束 返回 首页 调和级数 与 p 级数 是两个常用的比较级数 . 若存在 , ? ? Z N 对一切 , N n ? 上页 铃 结束 返回 首页 ? 定理 3( 比较审敛法的极限形式 ) 设 ? ? ? 1 n n u 和 ? ? ? 1 n n v 都是正项级数 , (1) 如果 l v u n n n ? ? ? lim (0 ? l ??? ) , 且 ? ? ? 1 n n v 收敛 , 则 ? ? ? 1 n n u 收敛 ? (2) 如果 l v u