1.1.2余弦定理(共23张PPT).pptVIP

cosA = 2bc b2 +c2 – a2 例2 在三角形ABC中, 已知 a =2, 解此三角形. 2, b= 2 2 6 c= + ) + (2 2 )2 +( 6 2 )2 -22 2 2 6 + ( 2 2 = = 3 2 解 : A=30 0 cos B = a2 +c2 - b2 2ac = 2 2 B=45 0 ∴ C= 0 180 0 0 - (30 + 45 ) 0 =105 　已知三边解三角形 C B A c b a 例3、在?ABC中,若a2+b2-c20则?ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都有可能 总结：角的锐、钝、直与余弦值的正、负关系： a2+b2-c20 cosC0 C钝角 a2+b2-c2=0 cosC=0 C直角 a2+b2-c20 cosC0 C锐角 判断三角形的形状 练习3：在△ABC中，b CosA=a cosB，则三角形为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 C 解法一：利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA＝acosB, ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形. * * * * * * * * 余 弦 定 理 复习回顾 1、正弦定理： 2、三角形的面积公式： 3、正弦定理的变型： 4、正弦定理的应用： 1、已知三角形的两角和任一边解三角形 2、已知两边和其中一边的对角解三角形(注意解的情况) 3、判断三角形的形状. 问题：在△ABC中，已知a、b，和角C，求c。 （即用a、b 、 C 表示c） 情况一：当∠C为直角时，（几何法） b a A C B c 情况二：当∠C为锐角时， 情况三：当∠C为钝角 D A a b C B c b A a c C B D 综上，我们得到：在△ABC中，已知a、b，和角C，则 能否用其他的方法来解决这一问题呢？ 在 ABC中，AB,BC,CA 的长分别为c, a, b AC BC AB = + AC AC . = ) AB ( + BC . ) AB ( + BC = 2 AB + BC 2 = AB 2 + 2 AB BC COS(180-B) + BC 2 = c2 – 2a c cosB + a 2 即 b2 = c2 +a2 -2ac cosB 同理可证 c2 = a2+b2 – 2ab cosC BC AB +2 . ∴ a2 = b2+c2 – 2bc cosA 思路二：向量法 a b A B C c (bcosC,bsinC) (a,0) C x a y O 法三:坐标法 b c? A B 解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系 法四:正弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理 问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？ 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 问题2：公式的结构特征怎样？ （1）轮换对称，简洁优美; 剖 析 定 理 （2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想） 剖析 变式 因此，利用该公式可以判断三角形的形状： C B A c b a ,求边a及B. 例1 ,A=45 0 在 　　中, 已知 b=　 　, c= 解： 　已知两边及其夹角解三角形 练习： * * * * * * * *