§9.7 方向导数与梯度.ppt

一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 一、问题的提出二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结 多元函数微分法 第九章 习题课 一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于方向导数和梯度的题类 五、关于多元函数微分学应用的题类 1.几何应用. 2.极(最)值 必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系 方向导数存在 偏导数连续 可 微 连 续 偏导数存在 极限存在 一、关于多元函数极限的题类 二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难.通常从以下四个方面考虑： (1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……;无穷小性质等. (2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理; (3)利用二元初等函数在内点处的连续性: (4)通过观察，若大致估计所求极限不存在，可选择两条不同路径，求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在; (或可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在) 【例1】 初等函数.(1,0)定义域内点.连续.　代入法 【例2】 换元,化为一元函数的极限 【例3】 【解】 由于 且 故原极限=0 ——夹逼准则 【阅读与练习】 求下列极限 【解】 【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧 或 若多项式Pm(x，y)与x+y无公因子，在一般情况下其极限是不存在的.证明方法是,分别令y = kx及y =xs－x ,其中s是分子中关于x，y 的最低次数,求出当x?0时两个不同的极限值,即可断定原极限不存在. 【注意】对于形如 的二重极限 【练习】 是否存在？ 【解】 所以极限不存在. ? 仅知其中两个存在, 【说明】 二次极限是两个极限过程；而重极限是一个极限过程. ? 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 二重极限 不同. ? 如果它们都存在, 则三者相等. 与累次极限 也推不出第三者存在. 和 ［例如］两个累次极限 存在 而二重极限不存在. ［又如］ 则重极限 而两个累次极限均不存在. 【强调】本课程讨论的极限均为重极限. 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断. [连 续] [可偏导] [可 微] 内含三条，缺一不可 包括高阶偏导数定义等 【例1】 设函数 【解】(1) 同理,由fy(0,0)存在 按要求 利用夹逼准则 因此? (0,0)=0时， f (x,y)在(0,0)点可微. (2)因可微必可偏导，所以为使f (x,y)在(0,0)点可微，必应有 ? (0,0)=0.但此条件下是否可微，应进一步用可微定义确定. ③ 三、关于偏导数、全微分计算的题类 1. 【多元复合函数求导法则】 (1)【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续(?可微） (2) 【复合函数求导链式法则】 ① 全导数 ② “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 2.【全微分】 全微分＝各偏微分之和 u,v是自变量或中间变量 3.【隐函数的求导法则】 (1)［公式法］ (2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ③ ① ② x、y、z 等各变量地位等同 要求掌握［推导法(即直接法)］ ③解由②得到的方程(组), 解出要求的偏导数. 形式不变性 ①搞清哪个(些)是因变量,中间变量,自变量； ②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导； (3)［微分法］——若已知函数可微则可使用 自变量与因变量由所求对象判定 【例1】 【解】 【注意】易犯错误: 此错误在于: 复合函数链式图法 教材 习题9-5 P89 第11题 【例2】 【解Ⅰ】 方程组确定隐函数［推导法］ 【解Ⅱ】 两边同时对x求导 【解Ⅲ】 全微分法（因f, F一阶偏导连续，故可微） 【提示】 看作两个方程的方程组,三个变量,确定两个一元函数,用推导法(直接法)解方程最为简单. 练一练 【解Ⅰ】 先复合 两边对x求导得 【解Ⅱ】 两边全微分 【解Ⅲ】 代入… 将y=x2,u=1代入得 【例3】 【解】 【分析】 确定y = y(x), z = z(x), u = u(x)三方程两边同时对x求导. 由②③可得, §5 作业思考题2 ① ③ ② ④ 将③ ④代入①可得 【分析】 确定y = y(x), z = z(x), u = u(x) 三方程两边同时对x求导. 同步练习 【要求】分别用公式法、直接法、全微分法三种方法求. 练一练 * */30 三、梯度的概念 一、问题的提出 二