1.1实数,1.2数集.确界原理.ppt

一、有界集 定义1 因此 S 无上界. 证 故 S 有下界. 取 L = 1, 例1 例2 证 二、确界 定义2 若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界. 注2 注1 条件(i) 说明 是 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上 界,即上确界是最小的上界. 定义3 注2 注1 由定义,下确界是最大的下界. 证 先证 sup S=1. 例2 三、确界存在性定理 定理1.1 (确界原理) 证明 不妨设 例3 证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界， 因此由确界原理, 数集 A 有上确界， 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 由 y 的任意性，sup A 是数集 B 的一下界, 同理由确界原理, B 有下确界. 证明 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ?inf B. 例4 证 必有 于是 使 从而 且 因此 其中 必有 于是 则存在 使 因此 这就证明了 四、非正常确界 2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. 例2 设数集 求证: 证 设 于是 因此 反之,若 2. 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否 复习思考题 3. 在上确界的定义中，　 能否改为 或改为 * 数学分析研究的对象是实 数集上定义的函数, 因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质. 记号与术语 1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 其中 2. 有限小数 又可表示为 一、实数的十进制小数表示 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 则 用无限小数表示实数，称为正规表示. x 可用循环十进制小数表示， 3. 表示有理数集. 4. 无理数为无限不循环小数. 二、实数的大小 定义1 若 是正规的十进制小数表示, 规定 实数的大小关系有以下性质: 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. 即大小关系具有传递性. 三、实数的大小的等价条件 定义2 性质 对任意实数 x，均成立 命题 例1 证明 四、实数的四则运算 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 实数的四则运算与大小关系, 还满足: 封闭的. 封闭的. 五、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性: 理由如下：设 为第一个不为零的正整数, 例1 证 阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 ) 六、实数的稠密性 数又有无理数. 证 例2 证 的无理数. 七、实数与数轴上的点一一对应 实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系. 1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 反之, 任何一实数也对应数轴上一点. 2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的 完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论. 八、实数的绝对值与三角形不等式 2. 实数的绝对值性质: 定义为: (三角形不等式). 的证明： 3. 三角形不等式 复习思考题 循环节不超过 q 的循环小数？ 2. 为什么 1 和 0.99··· 表示同一个数? 在 R 中稠密. 3. 如何定义数集 在 中稠密?按你的定义证明 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点. 返回 记号与术语 *