§10.2 二元函数的极限和连续.pptVIP

第十章 多元函数微分学 §10.2 二元函数的极限和连续 一、多元函数的极限 二、多元函数的连续性 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 当 时， 原结论成立． 例3 求极限 解 其中 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 不存在. 观察 确定极限不存在的方法： 利用点函数的形式有 定义3 例5 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 故函数在(0,0)处连续. 当 时 例6 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 （3）一致连续性定理* 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 例７ 解 课堂思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取