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标准文档
华东理工大学
线性代数
作业簿(第八册)
学 院____________专 业____________班 级____________
学 号____________姓 名____________任课教师 ____________
6.1 二次型及其标准型
1. 填空题
(1) 设三阶矩阵 A 的行列式为 0, 且有两个特征值为 1, 1,
矩阵 A 与 B 合同 , B 与 C 合同 , 则矩阵 C 是_____ 阶矩阵 , 其秩
r (C ) _____ .
解:三, 2.
(2) 设 n 阶矩阵 A 与正交阵 B 合同,则 r (A ) _____ .
解: n . 因 B 为正交阵, 故 B 可逆 . A 与 B 合同即存在可逆矩
阵 C ,使得 CT AC B ,故 r ( A) r ( B) =n .
n n
(3) 二次型 f (x , x , ,x ) n x 2 ( x ) 2 , 则此二次型的
1 2 n i i
i 1 i 1
矩阵 A , 二次型的秩为 ______, 二次型的正交
变换标准型为 ________________.
实用大全
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n 1 1 ... 1
1 n 1 ... 1 2 2 2
解: , n 1, ny1 ny2 nyn 1 ,
...
1 1 ... n 1
提示:二次型的秩就是二次型的矩阵的秩,也是其标准型中
非零项的个数(注:标准型不唯一) . 因此求二次型的秩有两种
方法:1) 直接求二次型的矩阵 A 的秩,2)先求 A 的特征值, A 有
几个非零特征值(重根按重数计算) ,二次型的秩就是几 .
(4) 二次型 f (x ) xT Ax, 其中 AT A ,则二次型的矩阵为
_____ ____.
1 T
解: (A A ) . 提示: A 不是二次型的矩阵,因 A 不是对
2
称阵。
T T
注意到 f (x) x Ax 的值是一个数,即 f (x) f ( x) ,故有
1 T T 1 1 T
f (x ) [ f (x ) f (x)] x (A A )x . 而 ( A A ) 为对称阵 .
2
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