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matlab-maple 画常 微分向量场 作业 一、常微分方程向量场相关概念 1、常微分方程向量场定义 答： 设一阶微分方程dy   满足解的存在唯一性定理的条件。过 中任一 f x,y D dx  x y   x y     点 , ，有且仅有一个解y  x ,满足  ，  。称 x f x, x 0 0 0 0 域 为方程所定义的向量场。 D 2、常微分方程向量场性质 答：   y 性质1：解y x 就是通过点 x， 的一条曲线（称为积分曲线），且    0 0  y  就是该曲线上的点  处的切线斜率，特别在 x 切线斜率就 f x, x x, x ， 是  x y 。 0 0 f , 0 0 r 2 2 性质2：向量场可以用映射F:R R 来表示，其中 r r r F X(x,y)i Y(x,y)j  R R2 2 ， 为一个平面区域， 表示由平面一点映射到 一个二维向量。 f (x,y)  性质3：若函数 为 上的连续函数，那么向量场也是连续的。 性质4：向量场的原函数不唯一，但是任意两个原函数之间只差一个常数。 3、利用向量场求常微分方程（组）近似解 答： dy    从几何上看，方程 f x,y 的一个解y  x 就是位于它所确定的向量场 dx 中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与向量场在这一点的方向相切。形象 的说，解 x 就是始终沿着向量场中的方向行进的曲线，因此，求方程 dy    x y  y f x,y 满足初始值y  的解，就是求通过点x， 的这样的一条曲 dx 0 0 0 0 线。 4、利用向量场研究常微分方程定性理论 答： 向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要， 为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的性质 来研究解的性质。 (1). 李雅普诺夫稳定性 dy dy 考虑方程 6y2y2 和 4y2y2 dx dx ，现用向量场判断方程的李 雅普诺夫稳定性。分别绘制其向量场如下图： 从该图中的向量场方向可以看出，其所有解都渐进稳定于直线y3。