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飞行器结构有限元练习题答案 1、证明 3 结点三角形单元的插值函数满足 Ni(xj,yj)=δij，及 Ni+Nj+Nm=1。 证明：3 结点三角形单元的插值函数 Ni、Nj、Nm 形式如下： 1 N = (a + b x + c ) i y (i, j,m) i i i 2? 其中 1 x y i i 2? = 1 x y j j 1 x y m m a i = x y j j x y m m b i = ? 1 1 y j y m c i 1 x = (i, j,m) j 1 x m 根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元 素的代数余子式乘积之和等于零。所以 1 1 x y 1 y 1 x N (x , y ) = ( ? x + y ) = ?2? =1 j j j j i i i i i 2? x y 1 y 1 x 2? m m m m 1 1 x y 1 y 1 x N (x , y ) = ( ? x + y ) = ?0 = 0 j j j j i j j j j 2? x y 1 y 1 x 2? m m m m 1 1 x y 1 y 1 x N (x , y ) = ( ? x + y ) = ?0 = j j j j i m m m m 2? x y 1 y 1 x 2? m m m m 0 即 N (x , y ) = δ i j j ij 另外 1 N + N + N = (a + b x + c y + a + b x + c y + a + b x + c y) i j m i i i j j j m m m 2? 1 = [(a + a + a ) + (b + b + b )x + (c + c + c )y] i j m i j m i j m 2? 1 = (2? + 0? x + 0? y) =1 2? 1 2 2、图示 3 结点三角形单元，厚度为 t，弹性模量为 E，泊松 比ν=0，试求：插值函数矩阵 N，应变矩阵 B，应力矩阵 S， a 单元刚度矩阵 Ke。 解：3 结点三角形单元的插值函数 Ni、Nj、Nm 形式如下： 1 N a i = ( i + bi x + ci y) (i, j,m) 2? 3 a 1 题 2 图 其中 1 2? = 1 1 x y i i x y j j x y m m a i = x y j j x y m m b i = ? 1 1 y j y m c i 1 x = (i, j,m) j 1 x m ∵ 三角形三点坐标为： 1(a,0)， 2(0,a) ，3(0, 0) 1 1 1 1 ∴ N = x N = y N =1? x ? y 1 2 3 a a a a u ? ? ∵ [ ]{ }e [ ]{ }e = N I N I N I δ = N δ ? ? i j m v ? ? ∴ [N] 1 x 0 y 0 a ? x ? y 0 ? ? = ? ? a 0 x 0 y 0 a ? x ? y ? ? ?ε ? ?b 0 b 0 b 0 ? x i j m ? ? 1 ? ? ∵ { }= ? ? = ? ? = ε ε 0 c 0 c 0 c {δ} [B]{δ} e e y i j m 2? ? ? ? ? γ c b c b c b ? ? ? ? xy i i j j m m ∴ 1 0 0 0 ?1 0 ? ? 1 ? ? [ = ? ? ? B] 0 0 0 1 0 1 a ?0 1 1 0 ?1 ?1? ? ? ∵ {σ}= [D]{ε}= [D][B]{δ} = [S]{δ} e e 又∵ ? ν ? ? 1 0 1 0 0 ? E ? ? ? ? [ ] = ? ? ? = ? D ν 1 0 E 0 1 0 ? 1 ν ?0 0 (1?ν ) / 2? ?0 0 1/ 2? ? ? ? ? ∴ 1 0 0 0 ?1 0 ? ? E ? ? [S] [D][B] 0 0 0 1 0 1 = = ? ? ? a ?0 1/ 2 1/ 2 0 ?1/ 2 ?1/ 2? ? ? ? 2 0 0 0 ?2 0 ? ? ? ? ? 0 1 1 0 1 1 ? ? e T Et 0 1 1 0 1 1 ? ? ? ? [K ] [B] [D][B]t = ? = ? ? 4 0 0 0 2 0 ?2 ? ? ??2 ?1 ?1 0 3 1 ? ? ? ? 0 ?1 ?1 ?2 1 3 ? ? ? 2 3、以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列） 元素的总和为零。 证明：平面三结点三角形单元的单元刚度方程形式如