第四章-第五章习题解答.ppt

4．2 直角坐标系中的分离变量法 4．5．4 电轴法 第五章 ⑵ 点的电位为 17、在 的下半空间是介电常数为 的电介质，上半空间是空气 ，在距离介质平面 处有一点电荷 ，求介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总量等于镜象电荷q’。 解：由4.5.2节的讨论，下半空间介质中的场由点电荷 和镜像 电荷 计算，介质中场强的法向分量为 源点到观察点的距离 介质交界面处 其中 介质表面的极化电荷密度为 介质表面总的极化电荷 19、两点电荷（＋Q）和（－Q）位于一个半径a的导电球直径的延长线上，分别距球心D和（－D）。 ⑴ 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩 ； ⑵ 令D和Q分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。 解：⑴ 镜像电荷 ， ； ，偶极矩 ⑵ 球外电场可以看作是由±Q产生的电场与电偶极矩p产生的电场的叠加。当D→∞时，±Q在导体球附近产生的电场近似均匀场，可以用球心处的场表示 （ 不变） 源点到观察点的距离 电位的表达式为 电偶极矩在球外产生的电位 所以球外的电位为 与“在均匀电场中放入导体球”后球外的电位分布一致。 图4－19 球面上的电场只有 分量，所以 20、真空中一点电荷 ，放在半径为a＝5cm的不接地导体球壳外，距球心为d＝15cm。求： ⑴ 球面上的电场强度何处最大，其数值是多少？ ⑵ 若将球壳接地，情况如何？ 解：⑴ 球壳不接地，镜像电荷为 ； 球外的电位为 由 可知，球面上电场强度的极大值在 或 处。由于 所以球面上的电场强度最大值在 处，其值为 ⑵ 导体球面接地时，镜像电荷为 ， ，球面上的电场强度最大值仍在 处，其值为 解：大地电位为0，边界条件为：y＝0时, 。设导线的线电荷密度为 ，电轴的位置：y＝b，取镜像电荷的位置：y＝－b，大小为 ：。则边界面(地面)上任一点的电位 : 即满足边界条件。导线表面的电位（A点）： ， 导线对地电容 两条电荷线密度为 的长直线电荷产生的电位为 ， 21、一与地面平行架设的圆截面导线，半径为a，悬挂高度为h(a)。证明：导线与地间单位长度的电容为 一条电荷线密度为 的长直线电荷产生的电位为 其中r0与参考点的选取有关。 22、上题中设导线与地间的电压为U，证明：地对导线单位长度的作用力为 （提示：利用虚位移法） 解：利用虚位移原理 * 对于导体就是给定导体表面电荷的分布。这是因为导体表面的面电荷密度 静电场的边值问题是指在给定的边界条件下，求泊松方程或拉普拉斯方程的解，可分为三类： 第一类边值问题：给定整个场域边界面上的电位 . 2．4．2 静电场的边值问题 2．第二类边值问题：给定边界面上电位的法线导数 ， 3．第三类边值问题(混合边值问题)：一部分边界上给定边界面上的电位 ，另一部分边界上给定边界面上电位的法线导数 （对于导体就是给定导体表面电荷的分布）。 表4. 2 静电场、恒定电场、恒定磁场边界上的衔接条件 静电场 恒定电场 恒定磁场 2.不同介质分界面上的边界条件 静电场、恒定电场、恒定磁场的边界条件也很相似，包括衔接边界条件和极限边界条件。 ⑴ 衔接边界条件：静电场、恒定电场、恒定磁场的边界面上满足的衔接条件如表4. 2所示。 ⑵　极限边界条件：需要根据具体问题分析得到。例如 ①电荷（或电流）分布在有限区域内， r→∞时，Φ→0； ②在均匀外电场中r→∞时， ③一般Φ正比于1／r，r→0时，Φ应当是有限值等。 ⒉ 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，电位的拉普拉斯方程为 ，将其代入（4.1）式，得 由（4.6）式可以看出， 中必然有正有负， 即 中有实数，也有虚数。 对于二维场，其中一个为0 （设 kx＝0） ，则ky、kz一个为实数，一个为虚数。（4.3）～ （4.