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§5 Adams方法和一般线性多步法 单步法: 计算yk+1只用到yk。
多步法:
计算yk+1用到更多的信息量。
目的: 提高计算效率。
本节内容:
一、(一般)线性多步法的典型代表:Adams方法
二、构造线性多步法的两种途径
1 数值积分法
2 Taylor方法(待定系数法)
Created with SmartPrinter trail version
5.1 Adams(亚当姆斯)方法
dy
= f (x, y), a x b
( 1 .1 )
dx 研究问题
y (1 .2 )
(a) = b a
h= x = a + kh,k = 0,1, ,n,l 1
k L
设等步长 ,节点 为正整
n
数,y0 , y1 ,L, yl 1已用某种方法求出,fi = f (xi , yi ),i =0,1,L,l 1是 已知值。考虑(1.1),(1.2)的数值解.
1. l 步显式Adams(亚当姆斯)方法(外插法)
x i =k,k 1,L,k l +1
l 公式 设 为插值节点 。
i
首先, 用过点(xi , fi ),i =k,k 1,L,k l +1 (k l 1)的插值多项式
x x l 1
l 1
k j
p(x) = f (5 .1)
k i
x x
j=0 k i k j
i=0
j i
dy
f (x, y(x k x
)), x [x , ]
= f (x, y(x)) p(x) 来近似 。即
k +1
dx
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首先, 用过点 (xi , fi ),i =k,k 1,L,k l +1 (k l 1)的插值多项式
x x l 1 l 1
k 1)
j x x
(5. p(x) = f
令 = t,则
k
k x x
i
x x i=0 j=0 k i k j
k +1 k
j i
dy
f (x, y(x)), x [xk , x ]
即 = f (x x x = th,dx = hdt
来近似 。
k +1 k
dx
再将p(x)在 ( xk , xk +1 )上积分
x x
k k
+1 ( , ( ))
+1 ( ) y(xk y x f x y x dx
) ( ) = p x dx +1 k
x x
k x x k
l 1
l 1 l 1
1 l t + j
1 x k j
k =
+1 h f dt = f dx
k i k
i j i
0
x xk x
k 0 =
i 0 j = 0 i=0 j=
i k j
j i
j i
l 1 xk = + x x = th+ jh
t + j x x x
1
(5.3 ) = dt
j k k k j
令
l ,i
j i
0 k =x x +x x = +
x x ih jh j = 0
i k j k i k k k j
j i
并用 yk+1, yk 分别近似 y(xk+1), y(xk ), 得 l 步显式Adams公式:
l 1
y + = +
k y h f
1 (5.2)
k l,i k i
i=0
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由插值多项式余项: Rl 1(x) = f (x, y(x)) p(x)
= f (x, y(x))
x x
l 1 l 1
k j
f (x , y(x ))[
k i k i x x
i=0 =0
j k i k j
]
j i (l )
f ( (x))
= (x x )(x x ) (x x )
L
k k 1 k l +1
l! (l+1)
y ( (x))
= (x x )(x x ) (x x )
L
k k 1 k l+1
l!
l 1
得局部截断误差: ( ) { ( ) ( , ( ))}
y xk + y x + h f x y x
1 k l,i k i k i
i=0
x
= f x y x p x dx
k+1 [ ( , ( )) ( )] x
k
(l+1)
y ( (x))
x
k 1
+ L
= (x x )(x x ) (x x )dx x x
k k 1 k l+1
t = k
l! x
k
h
y ( (x)) +
(l +1)
1
= l
{ t(t + 1)(t + 2) (t + l 1)dt}h
L
1
l!
0
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l 局部截断误差的定义
l 1 l 1
y
k+ = y +h f
定义7 k i
对于线性多步法
1 i k i i
i=0 i= 1
(5.4)
称
l 1 l 1
k+ = y x y = y x y x h f
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