特征值与特征向量的概念.pptxVIP

特 征 值 与 特 征 向 量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质?的特征向量的全体加 零向量 构成 Rn 的线性 子空间，记 V? ,其维数为 n-r(?E- A)一、特征值与特征向量的概念定义：设A 是n阶矩阵，如果数? 与n维非零列向量 x使得称? 为A的一个特征值， x 为对应于特征值 ? 的特征向量。 注： 1. 特征值向量 x? 0, 特征值问题是对方阵而言的.2. n 阶方阵A 的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的值 ?，3.? 是A 的特征值，则记这是一个n 次方程，称为矩阵A的特征方程它是一个n次多项式，称为A 的特征多项式。注： 在复数域中，特征值有n个（包括重数） 在一般数域中不然。1. 计算A的特征多项式2. 求A的特征方程的全部根，即A的特征值3. 对特征值 求齐次线性方程组的非零解，就是对应于 的特征向量。求矩阵特征值与特征向量的步骤：例1 当 时 ,由解所得所对应的特征向量为:当 时 ,由例２ 当时 ,由解解得基础解系：即当 时 ,由而解得基础解系：例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则是特征值的性质再继续施行上述步骤 次，就得证明当A可逆时，一定有 否则，有非零向量 X, 满足 AX=0, 与A可逆矛盾。二、特征值和特征向量的性质1. 设n 阶方阵A的特征值为：则称为矩阵的迹A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。(4).当A可逆时， 是矩阵 的特征值为A的伴随矩阵A*的特征值若? 是矩阵A的特征值, x 是A的属于?的 特征向量，则(1). k? 是矩阵 kA 的特征值(2). ?m 是矩阵Am的特征值(3).设 则 g(?) 是矩阵 g(A) 的特征值设是方阵A的特征值，是与之对应的特征向量，如果各不相等，证明 线性无关。 定理证明则即类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得设是n 阶方阵A的不同的特征值，是A对应于 的线性无关的特征向量，则向量组推论线性无关。 定理?是n 阶方阵A的k 重特征值 ，V?是其对应的 特征子空间，则特征子空间的维数 dim (V?) ? k , 即几何重数不超过代数重数。再补充n-r 个线性无关的 向量使其成为Rn的一组基，则证明： 设V?0 的维数为r ，一组基为：令所以即即因而A的特征多项式：这说明?0 作为A的特征值至少是r 重根注意１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．3的说明思考题思考题解答矩 阵 的 对 角 化相似矩阵的定义定义矩阵A,B 都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使 P-1AP=B则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，记 A~B相似矩阵的性质1易得: 若 A与 B 相似，则 Am 与 Bm 相似, kA 与 kB 相似， g(A) 与 g(B) 相似.则 是A的特征值若n 阶矩阵A与B 相似，它们有相同的特征多项式， 因而 有相同的特征值，相同的行列式，相同的迹。相似矩阵的性质即A的迹B的迹4.若n阶方阵A与对角阵k个利用对角矩阵计算矩阵多项式利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 .二、矩阵相似于对角阵的条件对n阶方阵A，若可找到可逆矩阵P，使得为对角阵，称为把矩阵A对角化。定理n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化） 的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。推论 若A有n个不同的特征值，则 A 可对角化。定理证明：反之，若A恰好有n个线性无关的特征向量，不妨设为以这n个特征向量为列向量构成的矩阵记为 P ,显然它是可逆的，并且易证：即命题得证.如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．注:定理?0 是n 阶方阵A的k 重特征值 ，V?0是其对应的 特征子空间，则特征子空间的维数满足： dim (V?) ? k , 即几何重数不超过代数重数。推论： A相似于对角阵当且仅当几何重数=代数重数。例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解当 时， 当 时，由由