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学 海 无 涯
2010 年高考数学真题之数列汇编
1． （2010 年高考山东卷理科22）(本小题满分14 分)
1−a
已知函数f (x ) lnx =−ax + −1 (a R) .
x
1
(Ⅰ)当a 时，讨论f (x ) 的单调性；
2
2 1
g (x) x =−2bx +4. x (0,2)
（Ⅱ）设 当a 时，若对任意 ，存在x 1,2 ，使
1 2
4
f (x ) g (x ) ，求实数 取值范围. [来源:Z+xx+k.Com]
b
1 2
【解析】本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分
类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新
问题的能力。
1−a
解：（Ⅰ）因为f (x ) lnx =−ax + −1 ，
x
1 a −1 ax2 − x +1−a
所以 f (x ) =−a + 2 2 x =(0, +) ，
x x x
令 h(x) ax2 =−x +1−a, x (0, +) ，
1
x x h (x )≥0 f (x )≤0
①当a 时，1 2, 恒成立，此时 ，函数 f (x ) 在（0，+）
2
上单调递减；
1 1
②当0＜a＜ 时，−1＞1＞0 ，
2 a
x (0,1) 时，h(x)＞0 ，此时f (x )＜0 ，函数f (x ) 单调递减；
1
x (1, −1) 时h(x)＜0 ，此时f (x )＞0 ，函数 f (x ) 单调递增；
a
1
x ( −1, +) 时，h(x)＞0 ，此时f (x )＜0 ，函数f (x ) 单调递减；
a
1
③当a＜0 时，由于 −1＜0 ，
a
学 海 无 涯
x (0,1) ，h(x)＞0 ,此时f (x )＜0 ，函数 f (x )
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