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等差数列知识点总结与基本题型
一、基本概念
1、等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。
(2)对于公差,需强调的是它是每一项与它前一项的差(从第2项起)要防止把被减数与减数弄颠倒。
(3)等差数列为递增数列
等差数列为常数列
等差数列为递减数列
(4)一个等差数列至少由三项构成。
2、等差数列的通项公式
(1)通项公式:,(当时,等式也成立);
(2)推导方法:①不完全归纳法:在课本中,等差数列的通项公式是由归纳而得,这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。
②迭加法:也称之为逐差求和的方法:
,上述式子相加,,即。
③迭代法:
。
(3)通项公式的应用与理解
①可根据的情况来分析数列的性质,如递增数列,递减数列等。
②用于研究数列的图象。
,
(Ⅰ)时,是的一次函数,由于,因此,数列的图象是直线上的均匀排开的无穷(或有穷)个孤立点。
(Ⅱ)时,,表示平行于轴的直线上的均匀排开的无穷(或有穷)个孤立点。不难得出,任意两项可以确定一个等差数列。
③从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式:,是关于的一次式,所以等差数列的通项公式也可以表示为(设)。
④等差数列具有下列关系:
(Ⅰ)数列中任意两项与,满足:或。
(Ⅱ)在等差数列中,若,则。
3、等差数列的等差中项
(1)定义:如果成等差数列,那么叫做与的等差中项。
(2)充要条件:成等差数列。
(3)推论:是等差数列。
4、等差数列的主要性质
①若,则。
②是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即。
③若为等差数列,则,…仍构成等差数列。
④是等差数列,则仍成等差数列。
⑤下标成等差数列且公差为的项:组成公差为的等差数列。
⑥数列(为常数)是公差为的等差数列。
二、基本题型
例1、判断下列数列是否是等差数列:
(1);(2)。
分析:用定义去判断。
解:(1),∴数列是等差数列。
(2)由得,则,,∴数列不是等差数列。
评注:如果判断一个数列为等差数列,需用定义去证明,但若一个数列不是等差数列,只要取特殊值说明即可。
例2、求等差数列的第20项。
解:,。
例3、在等差数列中,已知,,求与。
解:由题意知:解得。
例4、已知为等差数列,且,求。
分析:有的同学习惯于数列等差数列,对于是等差数列就束手无策了,关键还是对定义理解不透彻。
解:∵为等差数列,,
,又,,
,
,则。
例5、等差数列中,已知,则 。
分析:利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题,求出的值。
解法1:根据题意,有,,则。而,因此,。
解法2:根据等差数列性质,可得。
评注:解法1设出了但并没有求出,事实上也求不出来,这种“设而不求”的方法在数学中常用,它体现了整体的思想,解法2实际上运用了等差数列的性质:若,,则。
例6、三个数成等差数列,它们的和等于9,它们的平方和等于35,求这三个数。
分析:若设这三个数为,则需列三个方程;若根据等差数列的定义,设这三个数为,只需列两个方程,因此,采用后一种设法更好。
解:设这三个数为,由题意得解得,这三个数为,或。
评注:注意最终结果的写法,为了避免引起歧义,这三个数写出来时,就写成数列的形式。
例7、等差数列中,,求。
分析:由,直接列方程组;解出两个基本量和,这是常规解法,但比较麻烦,观察的下标,可以联想到成等差数列,利用等差数列的性质,必能提高解题速度。
解法1:,。
解法2:成等差数列,
。
例8、在与7之间顺次插入三个数,使这五个数成等差数列,则这个数列为 。
分析:此题可求出公差后,再逐项求解,也可以利用等差数列的性质求解。
解法1:设这几个数组成的等差数列为,由已知,。解得,所求数列为。
解法2:可利用等差数列,是的等差中项,是的等差中项,是的等差中项。即。
∴所求数列为。
例9、设是公差为的等差数列,如果,那么( )
A、 B、 C、 D、
解:
。 评注:直接从所求入手,观察已知与未知的联系,将整
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