离散数学 第5章 代数系统.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * （4）x*y=2xy （5）x*y=min(x,y) （6）x*y=max(x,y) （7）x*y=x (8)x*y=GCD(x,y),GCD(x,y)是x与y的最大公约数 (9)x*y=LCM（x,y），LCM（x,y）是x与y的最小公倍数 (10)x*y=质数p的个数，其中x≤p≤y 综合练习 2．设*是集合S上的可结合的二元运算。x，y∈S，若x*y=y*x，则x=y。证明：*满足幂等律（对一切x∈S有x*x=x）。 3．S及其S上的运算*如下定义，问各种定义下*运算是否满足结合律、交换律,〈S,*〉中是否有幺元、零元，S中哪些元素有逆元，哪些元素没有逆元? 综合练习 （1）S为I（整数集）,x*y=x-y （2）S为I（整数集）,x*y=x+y-xy （3）S为Q（有理数集）， （4）S为N（自然数集），x*y=2xy （5）S为N（自然数集），x*y=max(x,y)(min(x,y)) （6）S为N （自然数集），x*y=x 综合练习 4．下列说法正确吗？为什么？ （1）代数系统中的幺元与零元总不相等。 （2）一代数系统中可能有三个右幺元，而只有一个左幺元。 （3）代数系统中可能有一个元素，它既是左零元，又是右幺元。 （4）幺元总有逆元。 综合练习 5．设A＝｛0，1｝，S为AA,即S={f1,f2,f3,f4},诸 f 由表1给出。 （1）给出S上函数复合运算。的运算表。 （2）〈S,。〉是否有幺元、零元？ （3）〈S,。〉中哪些元素有逆元?逆元是什么？ 表1 综合练习 6．下面各集合都是N的子集，它们能否构成代数系统〈N,+〉的子代数? （1）{x|x∈N∧x的某次幂可以被16整除} （2）{x|x∈N∧x与5互质} （3）{x|x∈N∧x是30的因子} （4）{x|x∈N∧x是30的倍数} 综合练习 7．证明：f:R+→R,f(x)=log2x为代数系统〈R+，·〉到〈R，·〉的同态（这里R+为正实数集，R为实数集，·为数乘运算）。它是否为一同构映射？为什么？ 8．设f:N→{0，l}定义如下: 当n=2k(k是自然数) 否则 证明：f为代数系统〈N,·〉到〈{0,1},·〉的同态。 它是单一同态、满同态吗？ 综合练习 9．假定f是〈S,*〉到〈T,。〉的同态，试举例说明： （1）〈f（S）,。〉的幺元（零元），可能不是〈T,。〉的幺元（零元）。 （2）〈f（S）,。〉的成员的逆元，可能不是它在〈T,。〉中的逆元。 综合练习 10．设f，g都是〈S,*〉到〈T,。〉的同态，并且*与。运算均满足交换律和结合律。证明:如下定义的函数N:S→T N(x)=f(x)。g(x) 是〈S,*〉到〈T,。〉的同态。 11．设f，g分别是〈S,*〉到〈T,。〉的同态和〈T,。〉到〈H,〉的同态。证明：f。g是〈S,*〉到〈H,〉的同态。 综合练习 结 束 谢 谢 ! 第5章 代数结构（Algebraic Structure ） * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(b*c)=f(d)=3 f(b)+4f(c)=1+42=3 f(b*d)=f(a)=0 f(b)+4f(d)=1+43=0 f(c*c)=f(a)=0 f(c)+4f(c)=2+42=0 f(c*d)=f(b)=1 f(c)+4f(d)=2+43=1 f(d*d)=f(c)=2 f(d)+4f(d)=3+43=2 故f是〈A,*〉到〈B,+4〉的同构。 注意到例