离散数学 代数结构讲义.pdf

代数结构 Algebra Structures 虞慧群 yhq@ecust.edu.cn 1 内容提要 1. 运算及其性质 2. 代数系统 3. 群与子群 4. 阿贝尔群和循环群 5. 环与域 6. 格与布尔代数 2 1、运算及其性质 概念： 运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元,消去律 n 运算 对于集合 A，f 是从A 到 A 的函数，称 f 为集合A上的 一个n元运算。 n 注：函数f: A B, 若B  A，称函数f在集合A上是封闭的。 4 运算实例： (1) 加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是． (2) 加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是． (3) 乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不 是． (4) 设M (R)表示所有n 阶(n ≥2)实矩阵的集合，即 n a11 a12  a1n      M n (R) a21 a22  a2n  aij R, i, j 1,2,..., n     a a  a  n1 n 2 nn   则矩阵加法和乘法都是M (R)上的二元运算. n (5) S为任意集合，则 ∪、∩、－、 为P(S)上二元运算. 5 运算的表示 1．算符 可以用◦, ∗ , · , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 2. 运算表：表示有穷集上的一元和二元运算 二元运算的运算表 一元运算的运算表 6 运算表的实例 例 设 S=P({a,b})，S上的和 ∼运算的运算表如下 7 运算的性质 交换律 (Commutative) 已知A，*，若x，y∈A，有x*y=y*x，称*在A 上是可交换的。 例:判断相应的运算是否满足交换律。 (1) （Z