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2011年全国高中数学联赛预赛试题
文昌中学数学组： 何立果
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足，则△ABP与△ABC的面积之比为_________．
2. 设数列满足，则 .
3. 不等式对一切成立，则实数a的取值范围为 .
4. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件：
(1) ，其中为正整数；
(2) .
则 .
5. 方程
一共有 个解.
6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .
7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .
8. 计算：.
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
10．已知椭圆C：，过点P而不过点Q的动直线交椭圆C于A、B两点.
（1）求∠AQB；
（2）记△QAB的面积为，证明：．
11．（本小题满分20分）数列满足，当时有. 证明：对所有整数，有.
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