中考压轴专题：PA+KPB最值问题(苏科版,无答案).docx

WORD格式 专业资料整理 中考压轴专题：“PA+k·PB”型的最值问题 k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。 当k取任意不为1的正数时，通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 一、“将军饮马”模型 “将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B（或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。 如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值 是 。 1 如图，在矩形 ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝3S矩形ABCD， 则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 ． 如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6， △PMN的周长最小值为；当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 。 变式：“造桥选址”模型 如图，已知直线 a∥b，且a与b之间的距离为 4，点A到直线a 的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上 找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度 和最短，则此时 AM+NB的值为 。 如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个值。 二、“胡不归”模型 有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？” 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。 但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。 解题步骤： V2  V2 ①将所求线段和改写为“  BD＋V1  AD”的形式（  0＜V1  ＜1）； V2 ②在  AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度α，使得 sin  α＝  V1  ； ③过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值． 如图，△ABC中，BC=2,∠ABC=30°，则 2AC+AB的最小值 为 。 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线 1 BD（不含B点）上任意一点,则AM+2BM的最小值为。 如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每 秒，动点P在CD上运动的速度为 1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间 最短为 秒。 [中考真题] 1、（2016?徐州）在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过点A （-1，0），B（0，- 3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y 1 PD PB 轴上的一个动点，连接 PD，则2 的最小值为 8 3 2x4 y x 与x轴从左至右依次交于 2、（2014.成都）如图，已知抛物线 9 y 3x 4 3 点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线 3 3 与抛物线的另一个交 点为D（-5，33）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2 个单位的速度运动到  D后停止，当点  F的坐标为  时，点  M在整个运动过 程中用时最少？ 三、“阿氏圆”模型 【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗 尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。 ∴本题求“PA+k·PB”的最小值