《高等数学》19.2矩阵的初等行变换及应用.ppt

结论： 对于齐次线性方程组而言， （1）它必有解（例如零解）； （2）当R(A)等于未知数的个数n时，它仅有零解； （3）当R(A)小于未知数的个数n时，它有无穷多组解，且必存在基础解系。 例12 讨论方程组 的解。 例13 求解方程组： 结论：对于非齐次线性方程组而言， （1）它有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩； （2）当 时，它无解； （3）当 未知数的个数n时，它有唯一解； （4）当 时，它有无穷多组解，且 非齐通 = 非齐特 + 齐通。 作业： P187: 1. 2. 3. 4. 5 第四节 矩阵的初等行变换及应用 一 矩阵的初等行变换 定义1 初等行变换 （1） 互换任意两行的位置： （2） 用非零数乘某行： （3） 用一个常数乘矩阵的某一行，再 加到另一行上去： 定义2 把满足下列条件的矩阵称为行阶梯矩阵（简称阶梯形） （1）如果第i行元素全为零，则当时 ，第j 行（如果有的话）的元素也都为零； （2）如第i行元素不全为零，并且其第一个不为零的元素位于第j 列，则 时， 。 如 ， ， 等都是阶梯形，但 不是阶梯形。 定义3 一阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，如果其元素不全为零行的第一个不为零的元素都为1，并且其所在列的其它元素都为零。 如 ， 都是行最简形矩阵。 例1 将矩阵 化为阶梯形矩阵 解： 例2 将矩阵 化为行最简矩阵 解： 二.矩阵初等行变换的应用 1 用初等变换求逆矩阵 方法： 例3 用初等变换求矩阵 的逆矩阵 用初等变换求逆矩阵时，不必先考虑逆矩阵是否存在，只要注意在初等变换过程中，如果发现直线左边某一行的元素都是零，则逆矩阵就不存在。 例4 用逆矩阵法求方程组的解： 注： 用逆矩阵法可解更为一般的矩阵方程。如由A X B=C得 （只要右端有意义）. 例5 解矩阵方程 AXB=C 。其中 2. 用初等变换求矩阵的秩 定义 如果一个矩阵，从第二行起每个非零行的第一个非零元素出现在上一行第一个非零元素的右边，同时，没有一个非零行出现在零行之下，则称该矩阵为阶梯形矩阵。 例如 和 都是阶梯形矩阵 例6 利用初等变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵： 定义 如果矩阵A经过初等变换化为阶梯行矩阵B,且B的非零行的行数为r,则称A的秩为r,记作 R(A)=r. 显然，上例5中，R(A)=3. 例7 求矩阵 的秩。 例8 求矩阵 的秩。 3. 用初等变换解线性方程组——高斯消元法 定义 线性方程组 （1） 如果有解，我们称方程组（1）是相容的；如果（1）无解，则称方程组（1）是不相容的。 定义 由线性方程组（1）的系数构成的矩阵，即 叫做线性方程组（1）的系数矩阵。 由线性方程组（1）的系数和常数项构成的矩阵，即 叫做线性方程组（1）的增广矩阵 例9 用消元法解线性方程组 有时根据需要，可对线性方程组先进行加减消元，然后进行代入消元。如例8中，可先用 加减消元法（初等行变换）将 化为阶梯形 矩阵 ，此时，得到与原方程 组同解的方程组 然后用代入消元法，由最后一个方程开始向上逐个回代，即可得到方程组的解 高斯消元法的定义： （1）对线