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常见数列通项公式的求法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
例1.等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式.
2.公式法:已知(即)求,用作差法:。
例2:已知数列的前n项和sn,求的通项公式。
解:(1)当n=1时,,当时
由于不适合于此等式 。 ∴
练习:数列{an}满足an =5Sn-3,求an。 答案:an= EQ \F(3,4) (- EQ \F(1,4) )n-1
3.累加法:
若求:。
例3:(1)数列{an}满足a1=1且an=an-1+3n-2(n≥2),求an。
数列{an}满足a1=1且an=an-1+ EQ \F(1,2n) (n≥2),求an。
解:(1)由an=an-1+3n-2知an-an-1=3n-2,记f(n)=3n-2= an-an-1
则an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1
=f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1
=(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+(3×2-2)+1
=3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 =3× EQ \F((n+2)(n-1),2) -2n+3= EQ \F(3n2-n,2)
(2)由an=an-1+ EQ \F(1,2n) 知an-an-1= EQ \F(1,2n) ,记f(n)= EQ \F(1,2n) = an-an-1
则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1
=f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1
= EQ \F(1,2n) + EQ \F(1,2n-1) + EQ \F(1,2n-2) +…+ EQ \F(1,22) +1= EQ \F(1,2) - EQ \F(1,2n)
练习:已知数列满足,,求。答案:
4.累乘法:已知求,用累乘法:。
例4:在数列{}中,=1, (n+1)·=n·,求的表达式。
解:由(n+1)·=n·得,
=··…=所以
练习: 已知数列中,,前项和与的关系是 ,试求通项公式。 答案:
5.已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列)。
(1)形如、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求。
①解法:把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列中,,,求.
解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
②解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再应用的方法解决.。
例6. 已知数列中,,,求。
解:在两边乘以得:
令,则,应用例7解法得:
所以
练一练①已知,求;②已知,求;
(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
例7:解:取倒数:
是等差数列,
练习: 已知数列{}中且(),,求数列的通项公式。
常见数列求和公式及应用
1、公式求和法
⑴等差数列求和公式:
⑵等比数列求和公式:
另外,还有必要熟练掌握一些常见的数列的前项和公式.正整数和公式有:;;
例1:已知,求的前n项和.
解:由
由等比数列求和公式得 ===1-
倒序相加法
则
例2:已知,则
解:∵由
式
变式训练:如已知函数f(x)对任意x∈R都有,
+… ,(),求
裂项相消法
一些常见的裂项方法:;;;
例3: 求数列的前n项和.
解:设
则
==
练习:已知,又,求数列{bn}的前n项的和.
4、错位相减法设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。
例4:求
例5:设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.
解:(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.所以,.
(Ⅱ).,①
,②
②-①得
.
练习:3.求数列前n项的和.
小结:错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和的公式求和.
5、分组求和法
例6、已知数列的通项公式为求数列的前项和.
==
=
练习:求和:
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