船舶结构力学 第六章平面应力单元.ppt

6.1平面应力问题及其基本方程式 设该边界面AB 的长度为ds，则截面PA和PB的长度分别为lds和mds，另设微块的厚度为1。由微块的平衡条件?Fx=0，得 6.1平面应力问题及其基本方程式 同理由微块的平衡条件?FY=0，得另外一方程式。这两个方程式为： 式（6-12）就是平面应力问题的应力边界条件。如果考虑第三个平衡条件?FM=0，则可以再写出一个方程式，但是在ds趋近于零时，设一方程式将成为剪应力互等方程式。 (6-12) 6.2解题方法及有限单元法概念 1.解题方法简介 传统的弹性力学解题方法有三种：位移法，应立法和混合法。 当平面应力问题按位移法求解时，以位移分量u、v为基本未知函数。将几何方程式（6-5）代入物理方程式（6-8），得应力分量与位移分量之间的关系式，再将所得关系式代入平衡微分方程式（6-4）和应力边界条件（6-12），简化后得到： (6-13) 6.2解题方法及有限单元法概念 和： (6-14) 6.2解题方法及有限单元法概念 当平面应力问题按应力法求解时，以应力分量为基本未知函数。将几何方程式（6-5）代入物理方程式（6-8），得应力分量与位移分量之间的关系式，再将所得关系式代入平衡微分方程式（6-4）和应力边界条件（6-12），简化后得到： 6.2解题方法及有限单元法概念 2.有限单元法概念 （1）结构的离散化 （2）单元的位移函数 （3）外力的移置 第六章平面应力问题的有限单元法 The method of finite element of 有限元方法已被公认为应力分析的有效工具，受到工程界科学研究者的广泛重视。现在的有限元软件种类繁多，较为突出的有：MSC/NASTRAN、ANSYS、MARC、Algor、ABAQUS、等。 本章主要通过板的平面应力问题介绍有限元基本方法。 引言： 引言： 6.1平面应力问题及其基本方程式 1.平面应力问题 t/2 t/2 O x y z y 图6-1 6.1平面应力问题及其基本方程式 因为板面上(z=± t/2 )不受力，所以有应力分量 由于板很薄，故可以认为在整个薄板上所有各点上都有： 根据剪应力互等定律： 6.1平面应力问题及其基本方程式 这样，板中任一点的九个应力分量就只剩下三个应力分量，即 6.1平面应力问题及其基本方程式 因而这种问题称为平面应力问题。同时，由于板很薄，所以这三个应力分量，以及分析问题时须考虑的三个应变分量?x 、?y 、?xy及和两个位移分量u，v，都可以认为沿厚度不变化。这就是说，它们只是坐标x和y的函数，不随坐标z的变化而变化。 在平面应力问题中，可用如下三个向量分别表 板中任一点的应力、应变和位移； (6-1) (6-2) (6-3) 在船体结构中，很多问题可以简化为平面应力问题处理。例如甲板开口、舷侧、横梁开孔和肘板的强度问题等等。 6.1平面应力问题及其基本方程式 2.基本方程式 基本方程式包括平衡微分方程式、几何方程式和物理方程式，此外还有边界条件方程式。下面依次到处平面应力问题的这些方程式 ?xy ?xy C X Y x y 6.1平面应力问题及其基本方程式 (1)平衡微分方程式 根据平衡条件导出的各应力分量之间的微分关系就是平衡微分方程式 图6-2 6.1平面应力问题及其基本方程式 首先以通过中心C，并平行于z轴的直线为矩轴，列力矩平衡方程?Mc=0。 6.1平面应力问题及其基本方程式 其次，以x轴为投影轴，列出力投影的平衡方程?Fx=0： 6.1平面应力问题及其基本方程式 其次，以y轴为投影轴，列出力投影的平衡方程?Fy=0： 6.1平面应力问题及其基本方程式 由此，得到平面应力问题的平衡方程： 这两个微分方程中包含三个未知数?x、 ?y、?xy =?yx：因此，决定应力分量的问题是超静定，还必须考虑变形情况才能解决问题。 (6-4) x y (2)几何方程式 下面从平面应力问题的几何学方面，导出应变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程式。 O 6.1平面应力问题及其基本方程式 线段PA的正应变： 线段PB的正应变： (a) (b) 6.1平面应力问题及其基本方程式 剪应变?xy： 线段PA的转角为： 线段PB的转角为： 6.1平面应力问题