数列中的裂项法求和举例.doc

数列中的裂项法求和举例 杨恒运 江苏省扬中高级中学 （212200） 数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式 例1 已知数列｛｝满足： 是首项为1公比为的等比数列，求通项 由于很容易求出通项 2. 求等差数列前 n项和 例2 在数列中,若 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n项和 略解:显然 3．求等比数列前n项和 对于等比数列前n项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简 例3 在数列中,若 4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n项和 对这种数列的前n项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。 例4 在数列中,若，求数列前n项和。 例5 在数列中,若 ， 求数列前n项和 由此很容易求出此数列的前n项和。 5．求有关二项式系数的和 例6 化简 若利用组合数性质，则有 原式= 6．求通项是分式形式的数列前n项和 例7 在数列中 ，若 设正项数列满足 求证： 证明：当时不等式显然成立。当时 两式相减得： 则 原式左边= 所以不等式成立。 7．通项是多项式形式的数列的求和 例8 求数列的前n项和 由上式不难得到 类比可求得的前n项和 8．求通项是三角形式的数列前n项和 例9 在数列｛｝中,求前n项和 裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。裂项法求和关键 在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求 巧，而应灵活应用。