初中几何常用辅助线专题.doc

初中几何常见辅助线做法 三角形常见辅助线做法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍； 含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移 例1、如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 【分析】：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD＝CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中 ∴△ACD≌△EBD （SAS） ∴BE＝CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。 例2、如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在△BDE和△CDM中， ∵ ∴△BDE≌△CDM （SAS） 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90° ∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF和△MDF中 ∵ ∴△EDF≌△MDF （SAS） ∴EF＝MF （全等三角形对应边相等） ∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF 【备注】：上题也可加倍FD，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 例3、如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴MECD，∴∠MEF=∠CHE， ∵MF是ΔABD的中位线， ∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE， ∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。 方法2：含有角平分线的题目，利用角平分线的性质做垂线，或构造出全等三角形 例4、如图2-1，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180? 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 例5、已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。 求证：DH=（AB-AC） 【分析】：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。 例6、已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90?，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE. 求证：BD=2CE。 【分析】：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 方法3 ：证明两条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法 例7、如图2-2，在△ABC中，∠A=90?°，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD DCBA【分析】：截长法：在BC上取BE=AB,连接DE,证明△ D C B A 则AD=DE=CE,结论可证 补短法：延长BA到F，使BF=BC,连接DF,证明△BCD≌△BFD， ∠F=∠C=45°，AF=AD,结论可证 例8：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。 求证：AB－AC＞PB－PC。 【分析】：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。 证明：（截长法） 在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中 ∵ ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC＝PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC 证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中 ∵ ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB