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PAGE PAGE 1 导数之不等式恒成立问题 恒成立问题——参变分离法 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 恒成立问题——最值分析法 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 类型一：分离参数法 1、已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______ 2、已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________ 3、设函数，对任意的恒成立，则实数的取值范围是________________ 4、已知函数 ，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 类型二：最值法 1、已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围 2、 已知，若对任意的，均有，求的取值范围 3、 已知函数对任意的，均有，求实数的范围 4、已知函数，，若对于任意的恒成立，求的取值范围. 5、已知函数，若在区间上，恒成立，求实数的取值范围 6、已知函数，曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数 （1）求的值 （2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围 课后作业——好题精选 1、已知函数 ，求证：当时， . 2、已知函数，其中，若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围 3、已知，函数.是否存在实数,使得恒成立？若存在,求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由． 4、已知函数，记，若函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 5、设函数，其中 ，若成立，求的取值范围. 6、设函数 （1）证明：在单调递减，在单调递增 （2）若对于任意，都有，求的取值范围 导数之不等式恒成立问题参考答案 恒成立问题——参变分离法 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 恒成立问题——最值分析法 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 类型一：分离参数法 1、已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______ 解：首先转化不等式，，即恒成立， 观察不等式与便于分离，考虑利用参变分离法，使分居不等式两侧，， 若不等式恒成立，只需， 令（解析式可看做关于的二次函数，故配方求最值），所以 答案： 2、已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________ 解：，其中 只需要， 令 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不