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PAGE PAGE 1 导数之零点问题 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、证明零点存在的步骤： （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 1、设函数． （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． 2、已知函数 （1）求的单调区间； （2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。 3、设函数 （1）求函数的单调区间与极值； （2）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求的取值范围。 4、已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设． （1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； （2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 课后作业——好题精选 1、已知函数，，且在区间上为增函数． 求实数的取值范围； 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围． 2、已知函数 （1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值； （2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网 3、已知函数 （1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间； （2）若，讨论曲线与的交点个数． 4、设，函数． （1）求的单调区间 ； （2）证明：在上仅有一个零点； 5、设 若在处取得极值，求的值，并求的单调区间； 若函数没有零点，求实数的取值范围 导数之零点问题参考答案 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、证明零点存在的步骤： （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 1、设函数． （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． 解析 (1) , 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 2、已知函数 （1）求的单调区间； （2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。 解析 （1） 当时，对，有 当时，的单调增区间为 当时，由解得或； 由解得， 当时，的单调增区间为；的单调减区间为。 （2）因为在处取得极大值， 所以 所以 由解得。 由（1）中的单调性