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导数在函数中的应用
一、知识梳理
1、单调区间
一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数;如果在某区间内恒有,则为常数;
2、极点与极值
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3、最值
一般地,在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。
①求函数在内的极值;
②求函数在区间端点的值、;
③将函数的各极值与、比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
典型例题
题型一:函数不含参求解函数单调性、极值与最值
例1、已知函数在处取得极值为.
(1)求、的值;
(2)若有极大值,求在上的最大值.
【答案】(1) ;(2) 最小值为.
【解析】试题分析:(1),有,得;(2)在处取得极大值,在处取得极小值,最小值为.
试题解析:
(1)因故由于在点处取得极值
故有即,化简得解得
(2).知, 令,得,
当时, 故在上为增函数;
当时, 故在上为减函数;
当时, ,故在上为增函数。
由此可知在处取得极大值。
在处取得极小值
由题设条件知得
此时, ,
因此上的最小值为.
变式训练:已知函数.
(1)求函数的单调递减区间.
(2)函数在区间上的最大值是20,求它在该区间上的最小值.
【答案】(1), 为减区间, 为增区间;(2)-7
【解析】试题分析:(1)利用导数求得函数的单调递减区间。(2)由(1)可得函数, 为减区间, 为增区间。所以最大值只可能是f(2),f(-2),比较两个值的大小,可得f(2)=20.求得参数,进一步求的函数在区间上的最小值。
试题解析:(1)
, 为减区间, 为增区间
(2)
∴ ∴=-2
∴函数的最小值为
【点睛】
利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用或求单调区间;第二步:解得两个根;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极值同端点值的大小.
题型二:函数含参分类讨论研究函数单调性、极值与最值
例2、已知函数
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
【答案】(1) (2) 若, 在上递增;若, 在上递增; , 在上递减.
【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到,进而得到切线方程;(2)对函数求导,研究导函数的正负,得到函数的单调性。
解析:
(1)当 时, , ,
,
曲线在处的切线方程为: ;
(2)
若, , 在上递增;
若,当时, , 单调递增;
当时, , 单调递减.
点睛:这个题目考查的是导数的几何意义,切线方程的求法;考查了导数在研究函数的单调性中的应用;一般在研究函数的单调性中,常见的方法有:图像法,通过图像得到函数的单调区间;通过研究函数的导函数的正负得到单调性。
变式训练:已知函数,a为常数
(1)判断在定义域内的单调性
(2)若在上的最小值为,求a的值
【答案】(1) f(x)的单调增区间为,单调减区间为,
(2) a=-
【解析】试题分析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=.,由此利用导数性质能求出f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)根据a的取值范围分类讨论,由此利用导数性质能求出a的值.
试题解析:
(1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=+=.
当a0时, (x)0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
当a0时,?令 (x)0 ,得x-a;?令 (x)0 ,得x-a,
所以f(x)的单调增区间为,单调减区间为
(2)由(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,所以f(x)min=f(1)=-a=,所以a=-?(舍去).?
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,所以f(x)min=f(e)=1-=?a=-?(舍去).??
③若-ea-1,令f′(x)=0得x=-a,当1x-a时,f′(x)0,所以f(x)在[1,-a]上为减函数;当-axe时,f′(x)0,所以f(x)在[-a,e]上为增函数,所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=?a=-.?
综上所述,a=-.
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的
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