导数之函数最值.docxVIP

PAGE PAGE 1 导数之函数最值 1、函数的最大值与最小值： （1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值 （2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 （4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。 （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。 2．“最值”与“极值”的区别和联系 右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 1、求函数的最值 2、已知函数,是的一个极值点，求： （1）实数的值 （2）判断在区间上是否存在最大值和最小值 3、已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 4、已知函数的定义域为，求在上的最值 5、已知函数在区间上取得最小值4，则___________． 课后作业——好题精选 1．已知，且对恒成立，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 2．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 3．已知函数．求在上的最小值. 4．已知函数，求函数的最大值. 5．已知函数，为的导函数.若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值. 6．已知函数. (1)讨论单调性; (2)当时,函数的最大值为,求不超过的最大整数. 导数之函数最值参考答案 1、函数的最大值与最小值： （1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值 （2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 （4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。 （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。 2．“最值”与“极值”的区别和联系 右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 1、求函数的最值 思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：，令,解得： 的单调区间为： ，无最小值 2、已知函数,是的一个极值点，求： （1）实数的值 （2）判断在区间上是否存在最大值和最小值 解：（1） 是的一个极值点 （2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区间得到最值 解： ,令,解得：或 的单调区间为： 计算 3、已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出 解：， （1）当时， 在单调递减 （2）当时， 在单调递增 或 4、已知函数的定义域为，求在上的最值 思路：的单调区间可通过导数来确定，,是的极值点，而极值点是否在会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论 解：，令解得 在单调递减，在单调递增 为的极小值点 （1）当时，在单调递增 （2）当时， 在单调递减，在单调递增 下面比较的大