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PAGE 165 - 导数之证明数列不等式 利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。 一、基础知识： 1、考察类型： （1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源： （1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。 （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式： （1） 对数→多项式 （2） 指数→多项式 4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种： （1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点 （2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减） （3）等比数列求和公式 （4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。 注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。 5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。 1、已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）证明：对于任意的正整数，不等式都成立 2、设函数，其中。: （1）当时，讨论函数在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数，不等式都成立。 3、已知函数的最小值为0，其中。 （1）求的值 （2）若对任意的，有成立，求实数的最小值 （3）证明： 4、已知函数 （1）求的最大值； （2）证明不等式：。 5、已知函数 （1）若在定义域内为减函数，求的范围 （2）若满足，试证明：时， 课后作业——好题精选 1、已知函数 ． （1）若函数在区间上递增，求实数 的取值范围； （2）求证： ． 2、已知函数. （1）若，求函数 的极值； （2）若在内为单调增函数，求实数的取值范围； （3）对于，求证： 3、已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在定义域上为单调增函数. ①求最大整数值； ②证明： . 4、设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围； （3）令， ，证明： . 5、已知函数的最小值为，其中. （1）求的值； （2）若对任意的，有成立，求实数的范围； （3）证明： 导数之证明数列不等式参考答案 利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。 一、基础知识： 1、考察类型： （1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源： （1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。 （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式： （1） 对数→多项式 （2） 指数→多项式 4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种： （1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点 （2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减） （3）等比数列求和公式 （4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。 注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。 5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。 1、已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）证明：对于任意的正整数，不等式都成立 解：（1） 为的极值点 （2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在中，存在对数，且左边数列的通项公式也具备项的特征，所以