导数之端点效应洛必达法制.docxVIP

PAGE PAGE 1 端点效应洛必达法制 洛必达法制：若函数和函数满足： = 1 \* GB3 ①当时，函数和趋于0； = 2 \* GB3 ②在点的去心临域内，与存在且； = 3 \* GB3 ③ 例如：当时，求的值. 解：由洛必达法制可知 典例1、若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围. 典例2、若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围. 典例3、已知函数，若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围. 典例4、已知函数，若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围. 好题精选 1、（全国新课标理）已知函数，当，且时，，求的取值范围. 2、（个人原创）已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围. 3、若不等式对于恒成立，求的取值范围. 4、设函数.设当时，，求的取值范围. 5、(2010年全国新课标理)设函数，若当时，求的取值范围. 6、设函数．如果对任何，都有，求的取值范围 好题精选参考答案 1、（全国新课标理）已知函数，当，且时，，求的取值范围. 思路：根据已知条件，易分离出参数k，然后对分离出的函数求导，研究其单性，并求出的最值，但解答中发现在x=1处无意义，无法求出的最值，此时便可以借助洛必达法则出其极限值 解答：（由题设可得，当时，k恒成立。 令g (x)= (),则， 再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，； 在上为减函数，在上为增函数；故=0 在上为增函数 =0 当时，，当x（1，+）时， 当时，，当x（1，+）时， 在上为减函数，在上为增函数 由洛必达法则知 ，即k的取值范围为（-，0] 2（个人原创）已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围. 思路：根据已知条件，易分离出参数b，然后对分离出的函数求导，研究其单性，并求出的最值，但解答中发现在x=0处无意义，无法求出的最值，此时便可以借助洛必达法则出其极限值 解答：当时，恒成立 ，等价于恒成立 令 则 再令 由得 当时，0, 在单调递减 ，即 在单调递增 ，即 ， 在单调递增 由洛必达法则可得==1 ，1 要使恒成立，只需 的取值范围是 3、若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【分析】把问题转化为在恒成立。需求的最大值或最大极限值。但直接求很麻烦，故考虑洛必达法则。 【解析】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为， ，所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且.因此在上单调递减， 且，故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有 ， 即当时，，即有. 故时，不等式对于恒成立. 【评注】通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： = 1 \* GB3 ①可以分离变量； 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； = 3 \* GB3 ③出现“”型或型式子. 4、设函数.设当时，，求的取值范围. 解：由题设，此时. ①当时，若，则，不成立； ②当时，当时，，即； 若，则； 若，则等价于，即. 记，则. 记，则，. 因此，在上单调递增，且，所以， 即在上单调递增，且，所以. 因此，所以在上单调递增. 由洛必达法则有 ，即当时， ，即有，所以.综上所述，的取值范围是. 5、(2010年全国新课标理)设函数，若当时，求的取值范围. 解:当时，，对任意实数a,均在； 当时，等价于 令,则，令，则，， 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。 由洛必达法则知，， 故 综上，知a的取值范围为。 【评注】1.不等式恒成立或能成立题目。能分离参数成或 ，归结为求的某个最值(或其极限值)问题。常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值)。 2.使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。 6、设函数．如果对任何，都有，求的取值范围． 解： 若，则； 若，则等价于，即 则. 记， 因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减， 而. 另一方面，当时，，因此.