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偏微分方程定解问题,是表述自然与工程技术领域中各种现象最重要的数学工具之一,应用十分广泛。
遗憾的是,绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示,因而其数值解就显得尤为重要。
; 虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到18世纪,一些偏微分方程的数值方法也在20世纪初得到研究,但是,它们发展成为一门理论上严谨,实用上有效的学科,还是20世纪50年代以来的事,这主要得益于电子计算机的诞生。;偏微分方程的分类;三种类型的边界条件:
(1)狄里赫利型边界条件(第一类边界条件):边界上的函数值已知;
(2)纽曼型边界条件(第二类边界条件):边界上函数的法向导数值已知或是一种连续函数。
(3)混合边界条件:边界条件为第一类边界条件和第二类边界条件的线性组合。;数值求解偏微分方程定解问题的主要方法;差分方法; 目前,对于线性偏微分方程定解问题,差分方法已经形成了较成熟的算法格式,对于非线性问题,有效的算法正在迅速发展之中。;差分方法的准备工作;差分方法的基础,即泰勒级数展开:;一阶导数的差分表达式:
二阶导数的差分表达式:; 随着精度的不断提高,可以推导出无穷无尽的差分表达式。对于高阶精度公式,其优点、缺点:
(1)缺点:高阶精度的差分需要更多的网格点,所以计算中的每一步都需要更多的计算时间。
(2)优点:要得到相同精度的解,如果使用高阶差分格式,网格点的总数可以更少一些;高阶差分格式可以给出质量更高的解。; 例如,方程
有两个自变量x和t,设t是用于推进求解的变量 。i是x方向的标号,n是t方向的标号。设第n层上的数值已知,求第n+1层上的数值。;显式方法 ;隐式方法 ; 整理隐式格式,将未知量放在等式左边,已知量放到右边,得
隐式格式可化成三对角形式的方程组。 ; 显式方法:每一个差分方程只包含一个第n+1层的未知数,从而这个未知数可以用直接计算的方式显式地求解。显式方法是最简单的方法。; 隐式方法:包含第n+1层上的多个未知量,必须形成一个代数方程组。由于需要求解联立的代数??程组,隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。比显式方法需要更多、更复杂的计算。
;显示方法和隐式方法的优缺点;2)隐式方法
优点:用大得多的△t值也能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值,需要少得多的时间步,这将使计算机运行时间更短。
缺点:方法的建立和编程更复杂。而且,由于每一时间步的计算通常需要大量的矩阵运算,每一时间步的计算机运行时间要比显式方法长得多。;求解偏微分方程的一些差分方法;有限元方法; MATLAB的偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了空间二维问题高速、准确的求解过程。用户只要使用界面或M文件,画出所需要的区域,输入方程类型和有关系数,就可显示解的图形和输出解得数值。
; 谢 谢!
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