修改版定积分的概念.pptxVIP

1.5.3 定积分的概念（一） 前面我们一起解决了两个问题： 1,求曲边梯形的面积2,求物体做变速运动的位移一、问题再现y如图aobx（求曲边梯形的面积）实例1 (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x yy=f(x)Oxab求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似, 求和:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值： (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 xixixi+1设物体作直线运动, 已知速度是时间间隔上 的连续函数,且 计算在这段时间内物体所经过的路程。V(T)实例2（求变速直线运动的路程）ABV 虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。匀速直线运动：路程=速度×时间.实例2（求变速直线运动的路程）(1) 分割(2) 近似代替(3) 求和(4) 取极限归纳提炼求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程的共同特征：1.都通过“四部曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题. 2.都归结为求同一种类型的和式 的极限问题.3.解决问题的思想方法相同——在局部小范围内“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想. 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分.由此我们可以给定积分的定义. 二、定积分的定义定义如果函数 在 上连续，用分点x1,x2,x3....xn即将区间 等分成n个小区间，在每个小区间 上任取一点 作和式当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数（极限值）叫做函数 在 的定积分，即记作：定积分的定义：定积分的相关名称： ? ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。被积函数积分变量被积表达式积分上限积分下限定积分的定义： 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为v2 yf(x)=x2O t1xO1S=5/3注意是一个和式的极限，是一个确定的常数 2.当 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 的分法及 f(x)[a,b]点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 练习由曲线与直线 及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为 中，积分上限是 积分下限是________ 2.积分区间是 3.定积分在 上连续，则定积分 的值4.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数无关 2-2[-2,2]0A y y?f (x)xOab x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。三、定积分的几何意义 yxOab=-S y?f (x) 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方， y?f (x)上述曲边梯形面积的负值。 S也就是：曲边梯形的面积曲边梯形的面积的相反数 y?f (x) y?f (x) y ybaabxxOO探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?四、定积分的基本性质性质1：被积函数的常数因子可以提到积分号外性质2：三: 定积分的基本性质 y y=f(x) yxabOＣacbOx性质3. 定积分关于积分区间具有可加性d理论迁移 课本例1 利用定积分定义，计算 . 解题步骤：⑴分割；⑵近似代替、作和；⑶取极限 小 结定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的几何意义：定积分的思想和方法：分割化整为零近似代替，求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限 曲边梯形的面积(或面积的相反数)定积分的概念（二） -----题型课回顾：定积分的定义: 几何意义:定积分等于曲边图形面积或面积的相反数性质：可提性加减分配率区间可加性理论迁移 课本例1P47 利用定积分定义，计算 . 解题步骤：⑴分割；⑵近似代替、作和；⑶取极限练习册：P45，46，47讲练 作业布置