向量的内积与欧氏空间.pptxVIP

第一节 向量的内积与欧氏空间一、欧氏空间的定义 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念。 在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。定义 1 设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个元素?，?，确定一个实数（?, ?)，如果它具有以下性质 (1) (2) (3) (4) 当且仅当 时这里?，?，?是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间， 称为?与?的内积。例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量定义则数（?, ?）被唯一确定，并且满足（1）（2）（3）如果 则当且仅当时（4）所以向量空间Rn在所定义的内积下构成一个欧氏空间。二、向量的长度和夹角 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹角的概念。定义 2 非负实数 称为向量?的长度，记为 。显然 。定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）对于欧氏空间中任意两个向量?，?有当且仅当?，? 线性相关时，等号成立。（证略）定义 3设?，? 是欧氏空间中的两个非零向量，规定为向量?与?的夹角。定义 4设V 是一个欧氏空间，?，? ?V。如果(?, ?) = 0 ，则称?与?是正交的，记作???。