上海大学《概率论与随机过程》课程自学内容小结与专题应用范例书面报告.doc

PAGE PAGE 1 上海大学2019～2020学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称： 《概率论与随机过程》 课程编号： 题目: 概率论与随机过程自学报告 学生姓名: 学 号: 评语: 成 绩: 任课教师: 冯国瑞 评阅日期: 一、自学小结 1.1随机变量的特征函数 设X是定义在概率空间上的随机变量，它的分布函数为F(x),称ejux的数学期望E[ejuX]为X的特征函数，有时也称为分布函数F(x)的特征函数。随机变量 C 1.1.1两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 即若Y=K=1NXK, 式中X1，X2， C 由该式可知某信号在经过傅里叶变换后，时域的卷积可变为频域的乘积。由此类比可知：求独立随机变量之和的分布的卷积可化为乘法运算。 1.1.2随机变量X的n阶原点矩，可由其特征函数的n次导数求得。即求矩公式： E 1.1.3级数展开式。将特征函数在原点用台劳级数展开，可得： C 由该式可知随机变量的密度函数可由其各阶矩唯一地确定。 1.2 大数定理与中心极限定理 1.2.1大数定理(辛钦大数定理) 设X1，X2，…相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望EXk=μ (k=1,2,…)。作前n个变量的算术平均 lim 1.2.2中心极限定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1，X2，…，XN…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望与方差：EXk=μ, DX Y 的分布函数Fn(x)对于任意 lim 1.3 随机序列及统计特性 随机序列可由连续随机过程进行等间隔抽样得到。例如：连续随机过程X(t)以ts X 由此一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量，即： X= 均值向量： M 自相关矩阵： R 协方差矩阵： C 1.4 随机序列的功率谱密度 在随即信号的功率谱密度一章中我们学到，功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。但与随机过程不同，随机序列是在时间上离散取值，我们假设取样时间间隔为Ts,其相关函数即可表示为：R 取傅里叶变换得：Gxω= = 我们可以看到GX（ω）是在频率轴上以2π/Ts为周期的连续函数。根据随机过程的维纳—辛钦定理，我们也可以引出随机序列的维纳—辛钦定理：RX 1.5 随机序列通过离散线性系统 对于在区间[0,1]上均匀分布的独立随即序列XJ，通过q阶FIR滤波器有 Y 则滤波器输出的自相关函数满足下列方程： R 对于离散信号输入XJ，通过p阶递归滤波器有 Y 则滤波器输出的自相关函数满足下列方程： R 二、应用范例 数字基带信号的功率谱密度 相对于模拟信号，数字信号仅以“0”和“1”两个物理量来表示。因其传输质量很高，且抗干扰能力很强，已然成为当代通信系统中的重中之重。通过对于随机序列的功率谱密度的自学部分，我们可以更好的了解数字基带信号（二进制的随机脉冲序列）的功率谱密度的求解方法。进而在实际通信系统中，我们可以借此来确定并分配传输随机二进制脉冲序列的带宽，以及确定能否从序列中提取接收端所需的码元定时信息。 2.1 数字基带信号的波形 因为后文中有一些例题需要对不同基带信号进行功率谱的计算，所以先介绍几种常见的数字基带信号波形。 单极性不归?零码(Unipolar NRZ)波形： 单极性不归零码波形正电平表示二进制信息代码1，零电平表示二进制信息代码0，脉冲之间无间隔，几乎是最简单、最常用数字基带信号。其特点是极性单一，有直流分量。在TTL数字电路中均采用这种波形。 双极性不归零码(Bipolar NRZ)波形 双极性不归零码是用正电平表示二进制信息代码1，负电平表示二进制信息代码0，脉冲之间无间隔，波形如图所示。其特点是正、负电平幅度相等，当0、1等概率出现时无直流分量，这是双极性码与单极性码的最大不同。在RS-232接口标准中采用这种波形。 单极性归零码(Unipolar RZ)波形 单极性归零码波形在非零码元内，脉冲占空比小于1(不归零码脉冲占空比等于1)，或者说脉冲宽度小于码元宽度，每个脉冲在码元长度内都回到零电平，因此被称为归零码。 双极性归零码(Bipolar RZ)波形 双极性归零码波形是双极性波形的归零形式，每个码元内的脉冲(正脉冲或负脉冲)都回到零电平，即相邻脉冲之间一定有零电平作间隔。 2.2 数字基带信号的功率谱密度 设二进制随机脉冲序列m（t）为：