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二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类
* 5.6 二次曲线方程的化简与分类 这一节,我们将在直角坐标系下,利用坐标变 换,使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式, 然后在此基础上进行二次曲线的分类。 1. 平面直角坐标变换 我们知道,如果平面内一点的旧坐标与新坐标 分别为 与 ,那么移轴公式为 (5.6-1) 或 (5.6-1′) 式中 为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。 o y x o/ y/ x/ (5.6-2) 或 (5.6-2′) 式中的 为坐标轴的旋转角。 而在一般情形,由旧坐标系 变成新坐 标系 ,总可以分两步来完成, 转轴公式为 o y x o/ y/ x/ 先移轴使坐标原点与新坐标系的原点 重合,变成坐标系 然后由辅助坐标系 再转轴而 成新坐标系 设平面上任意点 的旧坐标与新坐标分别为 与 (图5-1) 由上两式得一般坐标变 换公式为 (5.6-3) o y x o/ y// x// y/ x/ ? 与 而在辅助坐标系 中的坐标 那么有 由(5.6-3)解出 便得逆变换公式 (5.6-4) 平面直角坐标变换公式(5.6-3)是由新坐标系原 点的坐标 与坐标轴的旋转角 决定的。 确定坐标变换公式,除了上面的这种情况外,还可以有其它的方法。 例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标 系里的方程,并规定 了一个轴的正方向等。 现在我们就来介绍这 情况下的坐标变换公式。 (图5-2) o y x y/ x/ M y/ x/ 设在直角坐标系 里给定了两条互相垂直的直线 因为 是点 到 轴的距离,也就是 点 到 的距离,因此我们有 同理可得 o y x y/ x/ 其中 横轴 纵轴 旧坐标与新坐标分别是 M y/ x/ 于是在去掉绝对值符号以后,便有 (5.6-5) 为了使新坐标系仍然是右手坐标系,我们来决定(5.6-5)中的符号, 将(5.6-5)式与公式(5.6-4)比较得 (5.6-4) 因此(5.6-5)中的第一式右端的 的系数应与第二 式的右端 的实数相等,所以(5.6-5)的符号选取 要使得这两项的系数是同号的。 例 1 已知两垂直的直线 与 ,取 为 轴, 为 轴,求 坐标变换公式。 解 设 的新坐标为 ,那么有 根据上面的符号选取法则得变换公式为 2. 二次曲线方程的化简与分类 设二次曲线的方程为 (1) 现在我们要选取一个适当的坐标系,也就是要确 定一个坐标变换,使得曲线(1)在新坐标系下的 方程最为简单,这就是二次曲线方程的化简。 为此,我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的 系数是怎样变化的。 因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成,所以我们 分别考察在移轴与转轴下, 二次曲线方程(1)的系数的变换规律。 在移轴(5.6-1)即 下,二次曲线(1)的新方程为 化简整理得: 这里 (5.6-6) 因此在移轴(5.6-1)下,二次曲线方程系数的变 换规律为: 二次项系数不变; 一次项系数变为 与 ; 常数项变为 。 因为当 为二次曲线(1)的中心时,有 , 所以当二次曲线有中 心时,作移轴,使原点与二次曲线的中心重合,那 么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。 把转轴公式(5.6-2)即 代入(1),得在转轴(5.6-2)下二次曲线(1)的 新方程为 这里 (5.6-7) 因此,在转轴下,二次曲线方程(1)的系数变换 规律为: 二次项系数一般要改变。新方程的二次 项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关,而 与一次项系数及常数项无关。 一次项系数一般要改变。新方程的一次 项系数 解出 得 可以进一步看到,在转轴下
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