欧拉法,改进欧拉法,斐波那契法原理及流程图.docVIP

. . 1欧拉法求微分方程 方法说明 欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题 (4.1) 最简单的数值方法，其具体做法是，将区间[a，b]进行N等分： ，步长.并将式(4.1)写成等价的积分形 式 （4.2） 再对式(4.2)右端积分用矩形公式计算，则有 , (4.3) 在式(4.3)右端取，舍去余项。则得 , 作为的近似值。 在式(4.3)右端取，舍去余项，则得 y 作为的近似值． 一般地，在式(4.3)右端取舍去余项，则得 (4.4) 作为的近似值．式(4.4)为 欧拉法计算公式． 我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式(4.1)的解． 欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便得到过点的一条折线，见图4.1．过的积分曲线则用此折线来代替．因此，这种方法亦称折线法． 图4.1 例：用欧拉法求微分方程 欧拉法流程图如下: x0+h=x1 x0+h=x1 y0+h*f(x0,y0)=y1 n=1 输出x1,y1 n=1+n x1= x0 y1= y0 结束 n=N ? 读入x0,y0,b,h 开始 计算N=fix((b-x0)/h) 欧拉法程序如下： clear; clc; x1=0; x2=1; h=0.1; x0=0; y0=1; N=(x2-x1)/h;%要计算的次数 x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n)); end X=x Y=y 2 改进欧拉法求微分方程 方法说明 由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进 欧拉法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(4.3)右端积分，则有 （5.1） 在式(5.1)右端取，舍去余项，则得 将作为的近似值． 在式(5.1)右端再取，舍去余项，则得 将作为的近似值． 一般地，在式(5.1)右端取，舍去余项．则得 (5.2) 将作为的近似值． 式(5.2)为改进 欧拉法计算公式． 流程图如下： 例：用改进欧拉法求微分方程 改进欧拉法程序如下： clear; clc; x1=0; x2=1; h=0.1; x0=0; y0=1; p(1)=0; N=(x2-x1)/h; x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n)); p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1)); y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2; end X=x Y=y 3斐波那契法求极值 方法说明 斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄金分割数0.618。如图7.1所示，只要在[a,b]内取两点x1,x2,并计算出f(x1),f(x2),通过比较，可将区间[a,b]缩短为[a,x2]或[x1,b]。因为新的区间内包含一个已经计算过函数值的点，所以再从其中取一个试点，又可将这个新区间再缩短一次，不断地重复这个过程，直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精确度为止。 图7.1 现在的问题是，怎样选取试点，在保证同样精确度的情况下使得计算f(x)函数值的次数最少？在计算函数值的次数一定的情况下，最初区间与最终区间的长度之比可作为取点方式优劣的一个标准。计算n次函数值，如何取点使最终区间最小？或者最终区间长度为1，计算n次函数值，初始区间最多为多长？为此，引入Fibonacci数列： F Fn 表7.1 系 所以当试点个数n确定之后，最初的两个试点分别选为: x x 显然x1,x2关于区间[a,b]对称，即有x1-a=b-x2,如图7.2所示 图7.2