初中数学竞赛精品标准规范教程及练习40：线段、角的和差倍分.docVIP

PAGE PAGE 1 初中数学竞赛精品标准教程及练习（40） 线段、角的和差倍分 一、内容提要 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。 转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍 三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 有关比例线段定理 用代数恒等式的证明 由左证到右或由右证到左 左右两边分别化简为同一个第三式 证明左边减去右边的差为零 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 二、例题 例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高 求证：DC＝AB＋BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。 ∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。 分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。 仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。 为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得 ∠ABD＝2∠F＝2∠C。 例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N 求证：AH＝2MO，　BH＝2NO 证明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍） 连结并延长CO到G使OG＝CO连结AG，BG 则BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO ∴四边形AGBH是平行四边形， ∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO 证明二：（折半法――作出AH，BH的一半） 分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN 则FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB 又∵OM∥AD， ∴∠OMN＝∠HGF（两边分别平行的两锐角相等） 同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG…… 例3.　 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点 求证：∠DCE＝2∠BCF 分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE＝AD＋AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。 我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。 辅助线如图，证明（略）自己完成 　　　　　　　　　　　　　　　　 例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I， 求证：∠BIC＝90＋∠A 证明一：（由左到右） ∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－（∠ABC＋∠ACB） ＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A ＝90＋∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明二：（左边－右边＝0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∠BIC－（90＋∠A）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝180－（∠ABC＋∠ACB）－90－∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝…… 　证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形） ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180　　∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB） ∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB）　 90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A 三、练习40 △ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD △ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM △ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E △ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝AB，连结EC，则CE＝2CD 已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线 求证：BC＝AB＋AD 已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线 求证　：∠DAE＝（∠B＋∠C） 已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上， 求证：∠CBD＝（∠ABD－∠D） 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F 求证：BF＝4EF 已