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初中数学竞赛精品标准教程及练习(42)
型如的证明
一、内容提要
型如的证明,通常是证明它的等价命题
第一种 转化为线段的比例式
(1) 可证 和两个同分母的分式分别相等,例如
当m+n=p 时等式成立
(2)可证明 c,a,b-c,b 四条线段成比例,关鍵是作出b-c的差
(3)可证明 a+b,a,b,c四条线段成比例,关鍵是作出a+b的和
第二种 转化为线段的乘积式
bc+ac=ab(4)
常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积
二、例题
已知:在梯形ABCD中,AB∥CD,O是AC和BD的交点,OE∥AB交BC于有E
求证:
分析:
证明,分别和,相等即可(下略)
已知:在△ABC中,∠ACB=120,CD是角平分线
求证:
分析一:
延长AC到E,使CE=CB,可证△BCE为等边,BE∥CD
分析二:=
在CB上截取CE=CD,
可证△CDE为等边三角形,DE∥CA
分析三:CA×CD+CB×CD=CA×CB
可由S△CAD+S△CBD=S△CAB证得
证明:∵S△CAD+S△CBD=S△CAB
∴CA×CDSin∠ACD+CB×CDSin∠BCD=CA;x CBSin∠ACB
∵Sin120=Sin60,
∴CA×CD+CB×CD=CA×CB
∴
已知:△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4
求证:
分析:
在AC上取CD=BC,证明 即可,要创造相似三角形,作角平分线CE,连结DE,得△ACE∽△ABC,再证CE=DE=AD
证明:在AC上取CD=BC,作角平分线CE,连结DE
显然△CDE≌△CBE,∠DCE=∠BCE=2α
∠CDE=∠B=2α,
∵∠A=α,∴∠DEA=α
∴CE=ED=DA
∵△ACE∽△ABC,
∴,,
,
, 1 -
∴
已知:点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比
即AC∶CB=AD∶DB=κ(称C,D调和分割AB)
求证:
分析:
=κ
(证明步骤是分析的倒逆)
如图已知:△ABC中,BC=a,高AD=h,内接正方形EFGH边长为m
求证:
分析:hm+am=ah, 可用面积公式证
证明:∵S△AEF+S梯形EFGH=S△ABC
∴
即 m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah
两边除以ahm, 得
三、练习42
四边形ABCD中,∠A=∠C=Rt∠,P是BD上的一点,PM⊥AB,
PN⊥CD,M,N是垂足,求证:
△ABC中,CD是角平分线,DE∥BC交AC于E,则
经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC于M,交AB的延长线于N,求证
已知:△ABC中,D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC
求证:(1∶S△BAE)+(1∶S△BEC)=1∶S△BED
△ABC中,∠C=60,角平分线CD=t, 求证
△ABC内一点P,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D,E,F是垂足,设a,b,c 边上的高分别为ha,hb,hc求证
已知2a=7b=14c
已知:直线y=bx+c (b ≠0), 与抛物线y=ax2(a≠0) 有两个交点,与横轴有一个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3 且b2-4ac0
求证:
Rt△ABC斜边上的高CD=h,那么
过△ABC内一点P分别作三边的平行线DE∥BC,FG∥AB,HK∥AC
求证:①
②
11. 在等边△ABC外接圆的弧上取点P
PA交BC于M,求证
PA,PB切⊙O于A,B,直线PO交⊙O于M,N,交AB于C
求证
已知半径分别为R,r 的⊙O和⊙O1外切于P,点P到外公切线AB的距离为d, 则
练习42参考答案:
4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比
S△ABC=abSinC
连结PA,PB,PC由……
x1,x2是方程bx+c=ax2 的两个根,由韦达定理得
且x3是bx+c=0的根……
9. 射影定理 11.用S△PBM+S△PCM=S△PBC
12. AM,AN是△PAC的内,外角的平分线。
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