初中数学竞赛精品标准规范教程及练习08：抽屉原则.docVIP

PAGE PAGE 1 初中数学竞赛精品标准教程及练习（8） 抽屉原则 一、内容提要 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 如果用表示不小于的最小整数，例如＝3， 。那么抽屉原则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数mn）,则至少有一个集合里元素不少于个。　　 根据的定义，己知m、n可求； 己知，则可求的范围，例如己知＝3，那么2＜≤3；己知＝2，则 1＜≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4。 二、例题 例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于个 解：∵5　　　　∴＝6 　答：至少有6名学生的生日是同一天 从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。 解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。　 ∵要在5个集合里取出6个数， ∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。 分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x个，用｛｝表示不小于的最小整数，那么 ｛｝＝3，　∴2＜≤3，　即8＜x ≤12，　最小整数值是9。 答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。 等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， 　　　　　∵5个点放入4个三角形， 　　　　　∴至少有2个点放在同一个三角形内， 　　　　　而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。 三、练习8 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。 在2003m 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？ 袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6个，请你拿出一些球，要确保至少有4个同颜色，那么最少要取几个？ 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？ 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色 涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？ 10，任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 练习8参考答案： 1.　3　　2.　5　　3.　3　　　4.　5只，23只　　5.　12 6.∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，…… 7.?????? 设1表示红色，2代表蓝色，每列3格用2种涂色，最多只有如下8种涂法，第9列必与前8种中的一种相同 8.?????? 把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3个正整数放入两个集合，必有一个集合中，有2个 是同奇数或同偶数，…… 9.?????? 如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同 10.??? 用A，B，C，D，E，F表示6个人。A与其他5个人的关系――相识或不相识两种，必有一种不少于3人，不妨设A与B，C，D3人都相识，这时，只B，C，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立。若B，C，D3人都互不相识，那么结论也成立。所以……