数值分析第7章线性代数方程组的迭代法-精选课件(公开).ppt

迭代格式的构造 把矩阵A分裂为 将上式写为迭代过程 这种迭代过程称为逐次逼近法，B 称为迭代矩阵。 问题： 迭代法的收敛条件 注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。 定理3 若逐次逼近法的迭代矩阵满 足‖B‖1， 那么逐次逼近法收敛。 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 定理 7 如果A是按行(列)严格对角占优的矩阵，那么Jacobi和G－S迭代法都收敛. 注意的问题 （2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛 性没有必然的联系： 举例 用Jacobi迭代法求解不收敛，但用 Gauss-Seidel法收敛。 系数矩阵A是正定矩阵，因此用 Gauss-Seidel法收敛. * * 第七章 线性方程组 的迭代解法 问题驱动：绗架设计 绗架是能够承受重负载的轻量结构，在桥梁设计中，一个 个绗架和可旋转的支点连接起来，可以把力通过该绗架从一个 节点传到另一个节点。如图7.1.1所示给出了一个4个支点的绗 架，①，②，③和④都是支点。在左下角①是一个固定的点， 绗架在右下角点④可以水平移动量值。在支点③施加10000N 的力，绗架的受力情况如图所示由 和 给出。固定支点 同时受到水平方向的力 和垂直方向的力 的作用，但移动支点 只受到垂直方向的力 的作用。 图7.1.1 绗架的受力分析图 如果整个绗架处以平衡状态，每个支点的合力应为零向量， 因此每个支点上力的水平分量和垂直分量之和都应该为零。由 此可得到一个如表 7.1.1所示的线性方程组，该方程组中的系数 矩阵中含有46个零元素，而仅有18个非零元素，通常把含有大 量零元素的矩阵称为稀疏矩阵，由于使用直接法求解这类方程 组，会破坏系数矩阵的稀疏性，这种情况下一般采用迭代法求 解方程组。 表7.1.1 ④ ③ ② ① 垂直分量 水平分量 支点 迭代法基础 ? 问 题 ? 在实际应用中遇到的系数矩阵多为大型稀疏矩阵，如用求解线性方程组的直接法求解，在计算机上会耗费大量的时间和存储单元。在许多应用问题中使用迭代法。 思路 将 改写为 等价形式 ，建立迭代 　 。从初值 出发，得到序列 。 研究内容： ? 如何建立迭代格式？　 ? 收敛速度？ ? 向量序列的收敛条件？ ? 误差估计？ 一般迭代法 则 收敛性定义：若 称逐次逼近法收敛， 否则，称逐次逼近法不收敛或发散。 给定初值 就得到向量序列 定理1 任意给定初始向量x0，如果由逐次 逼近法产生的向量序列收敛于向量x*，那么， x*是方程组x=Bx+g的解。 证明： 是否为方程组Ax=b的解？ 定理 当k? ?时，Bk ? 0 ? ? ( B ) 1 定理2 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径 ?(B ) 1。 证明： 因此， Remark:因为矩阵范数 都可以 直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3，很 容易判别逐次逼近法的收敛性。 定理 4 （充分条件）若存在一个矩阵范数使得 || B || 1, 则迭代收敛，且有下列误差估计： ② ① 证明： ② 迭代法的误差估计 误差表达式及收敛速度。 停机准则。 ① （4.1） 1．雅克比（Jacobi）迭代法 设有n阶方程组 几种常用的迭代格式 若系数矩阵非奇异，且 (i = 1, 2,…, n)，将方程组 （4.1）改写成 然后写成迭代格式 （4.2） （4.2）式也可以简单地写为 （4.3） 写成矩阵形式： A = L U D B Jacobi 迭代阵 (4.4) Algorithm: Jacobi Iterative Method Solve .Given an initial approximation . Input: the number of equations and unknowns n; the matrix entries a[ ][ ]; the entries b[ ]; the initial approximation X0[ ]; tolerance TOL; m