数系的扩充-精选课件(公开).ppt

复数的概念 ------数系的扩充 x y O 设z=x+yi(x,y∈R) 满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ 5 5 –5 –5 (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。 辨析： 1．下列命题中的假命题是（ ） D * * * 数系的扩充 复数的概念 * 3.1 数系的扩充 从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展. 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的. 自然数 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前. 负数 负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则. 刘徽（公元250年前后） 数集扩充到整数集 分数（有理数） 分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数. 数集扩充到有理数集 1 1 边长为1的正方形的对角线长度为多少？ ？ 无理数 毕达哥拉斯(约公元前560——480年） 无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑. 数集扩充到实数集 实数集能否继续扩充呢? 正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统. 历史回顾 1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.” 能作为“数”吗？它表示什么意义呢？ 虚数 虚数是“算”出来的. 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）. 笛卡尔(R.Descartes,1596--1661) 知识引入 对于一元二次方程 没有实数根． 我们已知知道： 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 思考？ 引入一个新数： 满足 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i2??1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 . 实部 复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 虚部 其中 称为虚数单位。 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 讨论？ 复数a+bi 复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 　思　考？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 5 +8， 0 2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数 例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数． （2）当 ，即 时，复数z 是虚数． （3）当 即 时，复数z 是 纯虚数． 练习:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 则 我们知道若 如何定义两个复数的相等？ 注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。 0 0 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 复数不能比较大小的一种解释 （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。 （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0·(-i) 即-10. 例如：i与0能不能比较大小？ 因此，i与0不能比较大小。 A 复数的概念 例2 已知 ，其中